方差及常见分布的期望方差.ppt

数学期望性质(复习) 性质1 E（C）= C (C为常数) §4.2 方 差 定义 设X是随机变量，如果E{[X—E(X)]2}存在，则称E{[X—E（X）]2}为X的方差，记为D(X)即 例2．设随机变量X具有概率密度 5. 方差的性质 性质1 D（C）= 0 作业： 98页 8, 9, 10, 11,12 例4．设（X，Y）服从二维正态分布，求X，Y的相关系数. 例3. 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos (X)，求X，Y的相关系数. 因而ρ =0， 即X和Y不相关 . 但Y与X有严格的函数关系， 即X和Y不独立 . 解：不难求得 Cov(X,Y)=0. 相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度. 下页 但对下述情形，独立与不相关等价 若(X,Y)服从二维正态分布，则 X与Y独立 X与Y不相关 显然，若X与Y独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 下页 解：X，Y的联合密度f(x,y)及边缘密度 fX(x), fY(y) 如下： 从而说明二维正态分布随机变量X,Y相互独立 ρ=0， 即X,Y相互独立与不相关是等价的. 下页 《概率统计》 下页 结束 返回 1.离散型 2.连续型 3.Y= g（X） 4.Z=g（X，Y） 下页 数学期望定义(复习) 性质2 E（CX）= C E（X） (C为常数) 性质3 E（X+Y）= E（X）+E（Y） 性质4 设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有 E（XY）= E（X）·E（Y） 特别 E（E（X））= E（X） 下页 0. 方差概念的引入 随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变量 取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的. 引例1：从甲、乙两车床加工的零件中各取５件，测得尺寸如下： 甲：8，9，10，11，12； 乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4 已知标准尺寸为10(cm),公差d=0.5cm, 问那一台车床好？ 以X甲 ，X乙分别表示甲、乙两车床加工零件的长度. 易得：E(X甲) =E(X乙)＝10。 虽然甲乙车床加工零件的均值相等，但其零件的质量有显著 差异，甲加工的零件只有１件合格，乙加工全合格. 10 8 11 9 12 10 考虑 E(|X-E(X)|) E{(X-E(X))2} 下页 引例2．有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出.X表示甲击中环数，Y表示乙击中环数，谁的射击水平高？ 解： =9.2(环) =9.2(环) 因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两人射击水平的稳定性是有差别的。 这表明乙的射击水平比较稳定. 下页 偏离期望平方的期望 1. 方差的概念 并称 为X的标准差或均方差记为σ(X) 。 D(X)=E{[X—E（X）]2} 其中P{X=xk}=pk k=1,2,3,…. 连续型随机变量 ò +￥ ￥ - - = dx x f X E x X D ) ( )] ( [ ) ( 2 离散型随机变量 2.方差的计算 下页 = E（X2）- [E（X）]2 3. 方差计算公式 公式 证明： D（X）= E{[X - E（X）]2} = E{X2 - 2X·E（X）+ [E（X）]2} = E（X2）- 2E（X）·E（X）+ [E（X）]2 例1．设随机变量 X～（0-1）分布，其概率分布为 P{X=1}= p，P{X=0}=q，0＜p＜1，p+q=1，求D（X） 解：因 E（X）= p， 而 E（X 2）= 12·p + 02·q = p 于是 D（X）= E（X 2）- [E（X）]2 = p - p2 = p q。 下页 ,求D(X). 所以 解： 下页 4. 常见分布的期望与方差 1) 0 -1分布 概率分布为 X 1 0 pk p 1-p E（X）= 1× p + 0 × (1-p) = p 2) 二项分布 设随机变量X～B（n，p），其概率分布为: D（X）= E(X2)-[E(X)]2= p-p2 = p(1-p) = pq