当样本的标准差.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * Stable分布例子 因為常態分布是Stable分布的特例，所以用Stable去fit誤差項資料一定比用常態分布去fit來得準。 1437.TT的每日報酬，fit結果為： 常態分布 Stable分布 應用時機 不是所有的分布都有期望值或標準差。 因為樣本數一定有限個，所以樣本平均值和樣本標準差一定有限，但這不是拒絕使用沒有期望值或標準差的機率分布來模型的理由。 當研究任何隨機事件有下列這些現象的時候，上帝已經在暗示你用錯了模型。 應用時機 當樣本平均值像得了燥癒症，n再大就是不會收斂的時候，這個隨機變數是屬於　　　的α/β類的分布。 應用時機 當樣本的標準差，好像收斂了，但一陣子後又突然因為實現了一個fat tail裡面的樣本，跳到更高的一個level，這個隨機變數是屬於　　　　的α/β類的分布。 應用時機 當套用傳統常態分配做模型的時候，在實際應用上被逼得好像要讓標準差也是一個機率變數才夠用。 應用時機 當fat tail惱人，心裡經常覺得運氣背的時間比常態模型預期背的時間多。 LTCM短短幾年就號稱遇到一個100個標準差的事件。 應用時機 當被研究的問題本質上是一種搜尋過程，像是 蒼蠅找西瓜 市場尋找買賣平衡點 c’est fini * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Stable機率分布介紹 Joshua Chen, 2009 Stable的涵義 廣義的常態分布。 廣義的中央極限定理。 獨立隨機變數的加總的分布所趨近的分布。 白色噪音的模型，科學模型以外的“模型”。 常態分布 常態分布的加總還是常態分布。 對稱鐘型曲線。 六個標準差幾乎就是不可能。 近代幾乎所有統計機率及品質管理科學的基石。 中央極限定理 任何一個機率分布，如果標準差存在，則n個iid的隨機變數的加總的分布，當n趨於無限大的時候，會趨於常態分布。 中央極限定理 iid的加總。給定定義域大於等於0的這個分布 中央極限定理 What-if。任何一個機率分布，則n個iid的隨機變數的加總的分布會如何呢？ 中央極限定理 怎麼看都不像 iid的加總。給定定義域大於等於1的這個分布 Stable分布 所謂兩個機率變數X和Y分布是一樣形狀意思是它們只差個location和scale： 定義：如果對任意n個iid機率變數，線性組合加總的分布和原來分布一樣形狀，有此性質的分布叫作Stable分布。 Stable分布 （Stable定理）數學上可以證明有此性質的機率變數的特徵函數一定是：其中 Stable分布 一般而言，機率密度函數沒有熟悉的式子。 除了少數幾個例外 α=2（此時β的值沒影響），高斯常態分布 α=1且β=0，Cauchy分布 α=0.5且β=0，Levy分布 你可以玩玩看不同α或β的機率累積函數 α越小越fat tail β0右偏， β0左偏 Stable分布 α如何影響fat tail，β如何影響skew Stable分布 以　　　　　表示Stable分布的機率變數。 　　　　　稱之為標準Stable分布，並略以　　　　　　表示。 Stable分布 兩個獨立Stable機率變數的加總的參數： Stable機率變數和標準Stable機率變數的關係： 時間長度和scale的關係： Stable分布 由觀察特徵函數在　　　的可微分程度得出： 當　　　　　，標準差不存在。 當　　　，期望值不存在。 給定一個高斯常態分布，如果它的標準差是一個由Levy機率變數選出的數字，則此分布成為Cauchy分布。 標準常態分布和　　　　的關係： Fat Tail 一個機率變數的極端值稱之為Tail。 越肥的Tail表示極端值越可能，越瘦的Tail表示極端值越不可能。 Fat Tail 大腿燕瘦環肥的定義是一個正數α值： 右腿，使得　　　　　　　　　不是零的最小α值。 左腿，使得　　　　　　　　　不是零的最小α值。 雙腿，右腿的α值和左腿的α值的較小值。 α值越小越肥。 一般中央極限定理 任何一個機率分布，設其雙腿的肥胖程度值為α，且定義下列數字：則依據α值的大小有下列幾種情形： 一般中央極限定理 當　　　，傳統中央極限定理： 一般中央極限定理 當　　　　，標準差不存在， 一般中央極限定理 當　　　　，期望值也不存在， 因為　　　　，樣本平均的分布無法收斂到一個數值上（大數法則）。 機率分布的分類 由上述一般中央極限定理，我們可以把所有的機率分布做個分類。 那些iid加總會收斂到　　　　　的分布，稱為α/β類。 此機率變數的基本性質和對應的Stable分布一樣。 有無期望值 有無大數法則，樣本平均機