数值分析.南京电大 36讲 szfx29.doc

一般如果局部截断误差是,我们就说该方法 具有p阶精度。, 两者是有误差的,因而,因而书上的 推导是错误的,其原因是局部截断误差的定义是 错误的。 可以证明:如果局部截断误差达到, 满足某一条件,则整体误差 因而称其精度达到一阶。 4.数值例子: 例1: 求的近似值。 解:这儿,, 由欧拉公式得: , 一直计算下去。 精确解为:。 从表中看出误差在逐步增加、积累,因是由 不准确的来计算的,来看局部截断误差。 局部截断误差, 而误差是, 显然很两者有明显的差异,前者是量级, 而后者是量级。 二.改进Euler方法: 格式的形成和构造:在微分方程初值问题 ,对其从到进行定积分得: 将右端的定积分用梯形公式来进行近似计算。 用和来分别代替和得差分格式: 这就是改进欧拉方法。 显式格式和隐式格式: 在欧拉式中每一步计算已知 ,直接用格式可以计算出,此类格式称为 显式格式。而在改进欧拉方法中 在每一步计算中是未知,待求的,未知量在 中这是一个方程,如是非线形或超越函 数,此方程是无法直接解出来(要依靠迭代法才能解出)。这类格式称为隐式格式。 例: 用改进欧拉方法求解。 解得: 由于,是线形函数可以从隐式格式中 解出。问题的精确解是 欧拉方法 误差 可见改进欧拉方法误差比欧拉方法要好的多。 欧拉方法相当于在 中用一个底作高的矩阵来代替曲边梯形的面积。 3.用预测校正方法求隐式格式的解: 有时要从 中要解出是相当困难的,因此我们用预测校正 的方法计算,在已得到的情况下, 预测值: 校正值: 此式相当于对隐式格式求时采用迭代的方法, 用欧拉格式得到的作为初始值迭代公式迭代 一次而已,此公式代入后得: 如改写成平均的形式为: x y y x