数值分析.南京电大 36讲 szfx03.doc

 关于存储问题,对于不必要分别存储,在消元后变成,原来的已没必要存储了,而也不必进行赋值,因为该数据在回代过程中没有用。现引进符号 := 表示赋值,而不是普通意义下的等号。高斯消去法的计算流程如下: 从流程中可以看出,当时,流程终止;当很小时,求解将严重失真,流程应当终止。 定理1:高斯消去法能进行到底的充要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为零。 可以证明,阶顺序主子式不为零的充要条件是。这就说明了高斯顺序消元法的缺点,特殊地,方程组未必无解,但高斯顺序消元法的第一步就无法进行。这就需要用下面的列主元消去法。 例: 用顺序消去法求解方程组:。 解: 第一次消元:,消元得 第二次消元: ,消元得 回代过程:,, 。 列主元消去法 方法 顺序消去法在时无法进行下去,此时方程组完全可能是有解的,只是方法的问题。此外,如果很小,在计算时, 要作除数,从而使舍入误差大大扩大,带来了数值不稳定。 改进方法:在第次消元时,从第到第个方程的的系数中取一个绝对值最大的数作主元,然后将第行和第行交换(如)。从而在计算时保证了被除数的绝对值大于等于除数的绝对值。 实际计算时,当最大的很小时,求解结果同样会严重失真,则求解过程应当停止。设是某个很小的数,当时,过程应该停止,此时已不是算法的问题,而是方程组本身的问题了。 例:用列主元消去法求解方程组 解:   ,消元得 , ,消元得 回代过程: ,,。 计算流程:在每次消元前加上选主元的过程和行交换的过程即可。 对于 做 (以下同顺序消去法) 上面的内存数据交换中,是临时存放数据单元,以免原始数据被冲掉而丢失。 数据传送如图所示:三句赋值语句的结果是将与存储单元内的数据交换了。 严格对角占优矩阵 如果矩阵的每行的对角元的绝对值大于该行非对角元的绝对值之和,称该矩阵为严格对角占优矩阵。即 。例如: 是严格对角占优矩阵。对于系数矩阵为严格对角占优矩阵的方程组, 已经是绝对值最大的,用消去法求解时可以不必选主元。 一些结论 定理:列主元消去法能进行到底的充要条件是系数矩阵的行列式。 定理: 严格对角占优矩阵必是非奇异矩阵。§2.矩阵的三角分解 一、LU分解(Doolittle分解) 1. LU分解 用n=3来举例说明。三元方程组Ax=b的增广矩阵为,用初等行变换变换为 这相当于将A矩阵左乘初等行变换矩阵和,使M2M1[A b]=[A(1) b(1)],其中l21=a21/a21, l31=a31/a11。再将进行初等行变换,得到这相当于左乘初等行变换矩阵,其中,则。记,则U是一个上三角矩阵,有。则。其中,,。 记L是下三角矩阵。这就是矩阵A的LU分解:A=LU。 2.用LU分解来解方程组 设A已进行了LU分解: A=LU,则方程组转化为。令,y是一个向量,即。 先解方程组,L是一个单位下三角矩阵,只要用回代的方法,由逐步解得;然后解方程组,U是一个上三角矩阵,由起直到x1逐步解出。 3.分解的充要条件 定理2:A能分解为的充分必要条件是A的各阶顺序主子式均不为零。即, ,。 作业P7 练习9.1 (A) 1,2,4,5，7，9，10 (B) 2,3,4,5 P11 练习9.2 (A) 2,3,4，5 P14 习题9 1,2，3, 6, 7 P22 练习10.1 1,3,4 (B) 2,3,4,5 P57 习题10 1,3 T bk bk br br br br T bk bk bk br br T bk bk br br bk T bk bk br