数值分析.南京电大 36讲 szfx13.docVIP

四、指数拟合 有些数据,在直角坐标系中的分布近似于指数曲线,则可以用指数函数进行拟合。 指数函数,两边取对数,得: ,作变换,得:, 这是一个一次函数,和是待定系数。 指数拟合的具体步骤: 我们可以将数据对转化为数据对; 用最小二乘法求出拟合曲线(即解出); (3)由,故,而,从而我们得到拟合的指数函数。 例3:设一个发射源的发射公式为, 通过实验得到如下数据: 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56 利用最小二乘法确定和。 解:,设,将数据对转化为数据对,然后进行直线拟合。 0.2 3.16 1.15057 0.04 0.230114 0.3 2.38 0.86710 0.09 0.260130 0.4 1.75 0.55962 0.16 0.223846 0.5 1.34 0.29267 0.25 0.146335 0.6 1.00 0.0 0.36 0.0 0.7 0.74 -0.30111 0.49 -0.210774 0.8 0.56 -0.57982 0.64 -0.463855 3.5 1.98903 0.81 0.185796 于是得到法方程组： 解得:, 则, 由,。 于是得到拟合指数函数。 其它一些非线性拟合: 双曲线 ,变形为, 令,,得到。 我们可以将数据对转化为数据对, 然后进行直线拟合。 (2) 对数函数,令,变形为。 (3) S型曲线 先变形为,令,,得到。 我们可以将数据对转化为数据对, 然后进行直线拟合。 第十一章 复习与小结 一、插值问题 1.插值多项式的计算 例:已知 1 2 3 4 5 1 8 27 64 125 求区间[1, 5]上的插值多项式。 解法一:用拉格朗日插值 , , , , ; 故 解法二:牛顿均差插值公式 先写均差表 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 1 1 7 6 1 0 2 8 13 9 1 3 27 37 12 4 64 61 5 125 解法三:顿等距插值公式 先写差分表: 1 1 7 12 6 0 2 8 19 18 6 3 27 37 24 4 64 61 5 125 ,,,故 2.插值余项 拉格朗日的插值余项是： , 其中 牛顿插值余项是: 由于两类插值的问题提法相同,结果相同,仅仅是形式不同而已,因而它们的余项是相同的, 即 从此式可以得到:当时,次多项式的阶均差或阶差分均为零,时,其均差为常数。 在上例中,,而 由于,而 , 故 ,于是,所以。 例:是个不同的插值结点,其基本插值多项式为,, 求证:对于,。 证明:设,故, 其个插值结点的插值多项式为 其余项为因是次多式,,故, 所以 即 在前面一个例子中,就是的情形,而当时, 有。 二、关于三次样条函数 1.三次样条函数的定义 在[a,b]上函数的三次样条插值函数满足: (1)在（a,b）上0,1,2阶导数连续; 即,,. (2),; (3)在区间上,是三次多项式。 2. 三次样条函数的计算 在每个内结点上,有方程 其中,, ； 在边界点,有两类附加条件： 第一类:由,,将第一个和最后一个方程变形即可。 , , 第二类:由,,在边界点上多了两个方程: , , 可以用追赶法求解我们得到的三对角方程,得到。然后就可以得到三次样条函数的分段表达式,即当时,