数值分析.南京电大 36讲 szfx20.docVIP

二、Newton—Cotes求积公式 将区间[a, b]等分n等份，求积节点为xk=a+kh,k=0,1,..,n，其中节点间距。 其中，由n次拉格朗日插值公式的插值基函数lk(x)决定: 。当n =1时,得到梯形公式: 误差为； 当n =2时，得到抛物线（辛浦生）公式：误差为 ； 当n =4时，得到柯特斯公式：误差为 ； 三、复化公式1. 复化梯形公式 误差 ； 2. 复化辛浦生公式,n =2m为偶数, 误差 。 例：用复化公式计算，精确值 由，将区间[0,1]分成4等份，n=4，h=0.25，得数表： 用复化梯形公式: ，误差R=0.0104719； 用复化抛物线公式： =1.7553750，误差R=0.0000767。 四、高斯型求积公式 1. Legendre多项式 对于任意次数不超过n的多项式q(x)，成立 。 2. 高斯—勒让德求积公式 勒让德多项式的零点是高斯—勒让德求积公式的求积节点。  当n=1时 ， 其代数精确度为3。 当n=2时,其代数精确度为5。 一般地，n+1个求积节点的高斯型求积公式的代数精确度为2n+1。 对于一般的有界区间[a,b]上的定积分，可以通过变量代换转化为区间[-1,1]上的定积分。即在积分中，令。例：用n=2的高斯—勒让德公式计算。精确值。 此处，a=0，b=1，作变换，则 于是 ，故f(0)=0.9272652， ， ，所以原式=1.7553526，误差R=0.0000543。三个点的高斯型公式比五个点的复合抛物线公式还要精确，误差还要小。  五、数值微分 1. 一阶导数 前差公式 ， 后差公式 ， 中心差公式 ， 向前三点公式 向后三点公式 2. 二阶导数 二阶中心差公式.  第十三章 方程求根 在实际问题中经常要求求解方程f(x)=0。满足此方程的解x, 又称为方程的根, 也称x是函数f(x)的零点。如果函数f(x)可以写成: 其中,则当m≥2时,称x*是方程的m重根,或称x*是函数f(x)的m重零点;当m=1时, 称x*是方程的单根,或称x*是函数f(x)的单重零点。 如果f(x)是多项式,称此方程为代数方程,若f(x)是超越函数,就称f(x)=0为超越方程。一般一次方程称为线性方程,而二次以上的代数方程或超越方程称为非线性方程。对于一次、二次代数方程,我们可以求出精确解,而对于三次以上的代数方程和超越方程,我们没有通用的技术来求出精确解,这就需要数值方法来求出方程的近似解。 分离区间 许多方程往往有两个以上的根,在某个区间[a,b]上,如果方程在此区间内只含一个根,我们称此区间为方程的分离区间。 如果f(x)在区间[a,b]上连续,满足f(a).f(b)0,即两个端点值异号,且f(x)在区间[a,b]上严格单调,则利用闭区间上连续函数的性质,可知f(x)在区间[a,b]上存在唯一的零点,其几何意义如下图: 曲线y= f(x)与x轴的交点就是f(x)的零点。  用描述的方法或称有哪些信誉好的足球投注网站的方法,先确定有哪些信誉好的足球投注网站区间的下界a,选择有哪些信誉好的足球投注网站步长h,然后求出遇到异号, 可知区间内有根, 从而可以加密有哪些信誉好的足球投注网站步长进行有哪些信誉好的足球投注网站, 提高精确度。这儿a,b如何确定?h选多大合适?h过大则可能会漏掉根(如图),(图中, 当h过大时, 漏掉了两个根) h过小则计算量很大, 如要求精度达到0.001,则在长度为1的有哪些信誉好的足球投注网站区间中,要计算1000个函数值, 欲使精度提高一倍, 计算量就要增加10倍。 §1. 二分法 一、二分法的具体计算过程 设f(x)在[a,b]上连续,现求方程f(x)=0在区间[a,b]上的根。设函数f(x)满足f(a).f(b)0,不妨设f(a)0,f(b)0。 第一步,取区间中点,计算区间中点的函数值,① 如果, 则就是方程的根; ② 如果, 则在区间上, f(x)在两个端点的函数值异号,于是原方程在区间内有根(图示),  记,下一步在区间[a1,b1]内继续进行; a b x* f(a) f(b) f(b) f(a) x* b a a+kh a+(k+1)h h (a+b)/2 b a (a+b)/2 b a