第三十四单元古典机率.PDFVIP

林信安老師編寫 第三十四單元 古典機率 (甲)隨機試驗與樣本空間 (1)隨機現象： 我們生活的世界上，充滿著不確定性。從擲硬幣、丟骰子、玩撲克牌等簡單的機會遊 戲，到複雜的社會現象；從嬰兒誕生，到世間萬物的繁衍生息；從天氣變化到大自然 的千變萬化，…這其中充滿著隨機的現象。 自然現象與社會現象，大致上分成兩種，例如上拋的物體一定會落下，無論是什麼 形狀的三角形，它的兩邊之和總是大於第三邊，這些現象用比較科學的語言來表達， 那就是它們都服從特定的因果關係，從一定的條件出發，必定可以推出某一結果；但 是在自然界與社會中還存有另一類現象，稱之為隨機現象 ，例如，在馬路交叉口，每 天都要通過許多人和車輛，但是我們無法事先預測確切的人數及車輛數；擲一粒骰 子，我們無法確定下一回會擲出幾點；買樂透彩券，我們也無法根據前幾期來預測下 一期的得獎號碼，這些隨機現象天天都在發生。 雖然隨機現象並不是因果關係確定的現象，但是它有幾個特點： 隨機現象的結果至少有兩個，那一個結果會出現，人們事先並不知道。 隨機現象的例子： (a)擲一枚硬幣，可能出現正面，也可能出現反面，但是事先並無法知情。 (b)明天天氣下雨與否，有時無法完全確定。 (c)MLB 明星賽的結果。 很多隨機現象可以大量重複，如擲一枚硬幣可以一直擲下去，可重複的隨機現象稱為 隨機試驗 ，簡稱為試驗 。也有很多隨機現象是無法重複的，例如一場籃球賽的輸贏， 這兩類的隨機現象，都是機率的研究範圍，而高中的機率主要研究的是隨機試驗。 (2)樣本空間與事件： 氣象報告常提到明天下雨的機率是 90% ；兩球隊比賽，賽前很多人都會看好其中一 隊，認為其中一隊會贏的機率是 6 成，這些都是生活中可能會遇到的問題，其中「明 天下雨」、「某一隊贏球」都稱為事件 ，這些事件事先都無法確定是否會發生，但通 常我們都會根據以往的經驗來認定其發生的機率。 對於一個事件來說，它在一次試驗中，可能發生，也可能不發生，我們常常希望知 道某些事件發生的可能性有多大，總希望可以找到一個適當的數來表示事件發生的可 能性大小。事件 A 發生的可能性是可以度量的，就好像是一根木棒的長度、一塊土地 的面積一樣。事件 A 發生的可能性大小稱為事件 A 的機率 。我們觀察以下的例子： (a)擲一粒骰子，所得點數大於 2 。 (b)擲 3 個硬幣，至少有 2 個正面。 (c)在罰球線投籃，5 次之內投進。 (d)從一副撲克牌中，任意抽取兩張，它們的花色相同。 ~34−1~ 林信安老師編寫 這些都是某個試驗的事件，依序為 (a)擲一粒骰子 (b)擲 3 個硬幣 (c)在罰球線投籃 (d)從一副撲克牌中，任意抽取兩張 「擲一粒骰子」這個試驗下，「點數大於2 」是一個事件，另外，「點數小於 6 」、 「點數是質數」、「點數是奇數」也都是事件，所以在同一個試驗下，可以有許多不 同的事件，為了方便敘述起見，有時候分別稱為事件 A 、事件B ，…等等，例如： A ：點數大於2 、B ：點數小於6 、C ：點數是質數、D ：點數是奇數。 在數學上為了方便處理，我們將一個試驗下的各事件以集合表示 ，例如擲一個骰子 時，「點數為偶數 」的事件以{2,4,6}表示，而{3,4,5,6}表示「點數大於 2 」的事件。 集合 {1,2,3,4,5,6}所表示的事件，涵蓋了這個試驗的所有可能，此集合稱為此試驗 的樣本空間 。 樣本空間常以 S 表示，每一個事件 A 都是樣本空間 S 的部分集合，即 A⊂S 。 A 是一個事件，若試驗結果屬於 A 則稱此事件， A發生 。例如，擲一粒骰子時，「點 數和為偶數」以 A={2,4,6}表示，若擲出的結果為「4 」，因為 4 ∈A ，所以A發生了 。 結論： (a)隨機試驗： 在不確定之現象上，求出一個結果之過程為一種實驗，有一組以上可能之結果，但不 能確定是其中那一種，同一條件下，可以反覆進行這種實驗稱為隨機試驗 。 (b)樣本空間：一項隨機試驗中所有可能發生的結果所成的集合。 (c)事件：樣本空間中的每一個子集合(