不定方程正整数解的个数及其应用.pdfVIP

维普资讯 第9jl丹 高中数学教与学 。学习指导。 不定方程正整数解的个数及其应用 郑观宝 (安徽省歙县中学 ，245200) 我们常常遇到(或可化为)下列问题：求 这 m一1块隔板，共有 c 中放法． 方程 l+ 2+…+ =7／,(ra，7／,EN ，，n≤7／,) 因此，方程 J+ 2+ ··‘+ =n(ra、7／,E 的正整数解的个数．下面笔者给出这一 问题 N ，m≤ 7／,)的正整数解的个数为c ． 的计算方法及其应用，供大家参考． 推论 1 方程 1+ 2+…+ =7／,(ra、7／, 一 、 模型与计数公式 ∈N ，ra≤7／,)的非负整数解的个数为c 上述不定方程正整数解的个数问题可以 证明 原方程等价于(，+1)+( +1) 转化为下列数学模型：把 7／,个相同的小球排成 +… +(m+1)=17,+m，}Y。= r+1(i= 一 行，并将它分成 ra段，每一段至少一个小 1，2，…，m)，贝0Yl+Y2+…+Y =7／,+ra，这里 球，有几种分法? Y≥1(i：1，2，·一，ra)，方程 l+ 2+… + 解 因为将一行球分成ra段 ，只要用ra一 =7／,(ra、7／,EN ，ra≤7／,)的非负整数解的个数 1块隔板将小球分隔，又 个小球产生 一1个 等于方程Yl+Y2+…+Y =7／,+ra的正整数 空位(不计两端的两个空位)．取 ra～1块隔 解的个数 ，为C,…．-I 板，在这 7／,一1个空位中任选ra一1个位置放置 把这一节课的内容设计成几组动画：第 次不等式在 a0且△0时的解法． 一 组动画是让由函数Y= 一2x一3所确定的 第三组动画是通过抛物线 的上下移动， 抛物线 自左向右一点点动起来．当变量 由小 启发学生用类比的思想方法概括归纳一元二 到大取值时，与之对应的变量Y的值也会不断 次不等式在a0且△0，a0且△：0和 改变，屏幕上表示 ，Y数值大小的线段长度与 a0且△0时的解法 ，让学生体会到数形 颜色在不停地变化，旁边跳动的数字更能说 结合的思想方法是思考数学问题最常用的重 明Y的值与0的大小关系，整条抛物线被 轴 要方法之一． 分为上下两部分，满足Y0，Y=0，Y0时的 从上例可以看 出，在一定的问题背景下 ， 的取值范围一 目了然． 学生 自己动手实验 、观察 、比较 、归纳，亲自经 第二组动画是利用计算机特有的信息处 历数学建构的过程 ，可以改变以讲授 “现成结 理功能演示抛物线Y=ax+ +c(a0且 果”为特征的传统数学教学模式，体现了以教 △0)的变化．通过动画的重复播放 ，学生很 师为主导 ，学生为主体的教学原则．数学实验 快发现一元二次不等式的解集只与抛物线与 教学为形成参与实践、自主探索、合作交流等 轴的两个交点的横坐标有关，而这两点的横 积极主动的学习方式创造 了有利的条件．数 坐标恰好是相应的一元二次方程的两个根． 学实验正在 以其独特的教育功能，受到广大 从而有效地突破 了难点，学生掌握 了一元二 数学教育工作者的特别关注． ． · 维普资讯 高中数学教与学