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数学教学研究 函数族等度连续的一个充要条件 廖俊侠，范胜君 (中国矿业大学理学院，江苏徐州221116) 摘要：提出并证明了一般区间I上函数族等度连续的一个充要条件，刘划了等度连续函数族的性 态，也为判断函数族等度连续提供了一个有力的工具． 关键词：等度连续；凹函数；线性增长；次可加 中圈分类号：0171 函数列的等度连续性是实分析中的一个 八Azl+(1一A)z2) 重要性质，也是连接函数列一致有界，一致连 ≥A，(z1)+(1一A)，(勘)， 续，一致收敛的桥梁，理解和判断函数列的等 则称，(z)为区间J上的凹函数． 度连续性是一个难点．文[卜2]针对函数列， 2)若对于区间J上的任意两点z，y，总 在有界区间上探讨了一致收敛，一致连续，一 有 致有界以及等度连续之间的关系．本文针对 厂(z+y)≤，(z)+，(y)， 函数族，提出并证明了一般区间I上函数族 则称，(z)为区间I上的次可加函数． 等度连续的一个充要条件，刻划了等度连续 函数族的性态，也为判断函数族等度连续提 于区间J上的任意点z，总有 供了一个有力的工具．为下面叙述方便，先给 l，(z)I≤口IzI+6， 出几个定义． 则称，(z)为区间I上的线性增长函数． 下面的定理是本文的主要结果，它给出 定义1[3]设11为一指标集，{厶(z))《r 为定义在区间J上的函数族．若对于任意给 一般区间I上函数族等度连续的一个充要条 定的eo，都存在胗o，当z1，劫∈川lIzl一件． zz f艿时，对任意的口∈r，均有 I正(z1)一工(勋)l￡， 定义在区间J上的函数族．函数族 则称函数族{正(z))口∈r在区间J上等度 连续． 为：存在定义在R+上的单调不减、线性增长 定义2[4。5]设，(z)为定义在区间f上 的函数． 且对任意的z-，z2∈J及任意的口∈r，有 1)若对于区间j上的任意两点z。，勋和 I)． (1) 任意实数．：【∈(o，1)，总有 进一步地，还可以假定上式中的9(r)为 收稿日期：2014一03一06 基金项目：江苏省青蓝工程中青年学术带头人培养对象专项基金及中国博士后科学基金(批准号：2013M530173) 作者筒介：廖俊侠(1989一)，女．山东临沂人，硕士研究生，研究方向为倒向随机微分方程 通讯作者：范胜君(1976一)，男，山东寿光人，教授，博士生导师。研究方向为倒向随机微分方程。非线性数学期望与金融数学 E-眦|l：L墨j@126．com 万方数据 第33卷第7期2014年7月 数学教学研究 65 凹函数． 步地，对任意的r∈R+，有 证明首先证明充分性． 9(r)≤÷·r+￡， (5) 由li啤9(r)=o可知，对任意的￡o，存 U r_．01。 即9(r)为R+上的线性增长函数． 在胗o，对任意的z∈[o，艿)，有9(r)e．故 再证明9(￡)为R+上的次可加函数． 由(1)知，当z1，z2∈J且lz1一z2i艿时，对