10 电子在库伦场中的运动.pdfVIP

第十讲 （2学时） 一、授课题目：电子在库仑场中的运动 二、教学目的及要求：熟悉球对称条件下定态薛定谔方程的求解， 三、教学重点和难点：径向波函数的求解 四、教学过程 1、有心力场中的薛定谔方程 考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，设电子的质量为µ，带电−e，核带电 为 。取坐标原点在核上，则电子受到的核的势能为 Ze Ze2 Ze 2 e U(r) = − = − s 其中e = 4πε r r s 4πε 0 0 ˆ ℏ2 2 Zes2 则系统的Hamilton 算符为 H = − ∇ − 2µ r 使用球坐标系，则定态薛定谔方程为 2 2 2 ℏ ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ Zes − 2 [ (r )+ (sin θ )+ 2 2 ]ψ − ψ = Eψ 2µr ∂r ∂r sinθ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ r 利用角动量平方算符，可将薛定谔方程写成 2 2 2 ⎡ ℏ ∂ 2 ∂ Lˆ Ze ⎤ ⎢− 2 (r ) + 2 − ⎥ψ = Eψ ⎣ 2µr ∂r ∂r 2µr r ⎦ 采用分离变量法，设 ψ(r,θ,ϕ)= R(r)Y(θ,ϕ) 1 d 2 dR 2µr2 Zes2 1 ˆ2 则代入方程后，有 (r ) + 2 (E+ ) = 2 LY Rdr dr ℏ r ℏY 2 2 ˆ 所以我们有 LY = λℏY 1 d 2 dR 2µ Zes2 λ 2 (r ) +[ 2 (E+ )− 2 ]R= 0 r dr dr ℏ r r 第一个方程正是我们讨论过的球谐函数方程，因此 λ= l(l+1),l= 0,1,2,⋯⋯ Y(θ,ϕ) = Y (θ,ϕ) m= 0,±1,±2,⋯,±l lm 1 1 d 2 dR ⎡2µ Zes2 l(l+1)⎤ 这样波函数的径向部分满足的方程为 2 (r ) + ⎢ 2 (E+ ) − 2 ⎥R= 0 r dr dr ⎢ℏ r r ⎥