9 3全微分.PPTVIP

一、全微分的定义 二、可微的条件 三、小结 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、小结 思考题 一、全微分的定义 二、可微的条件 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 2. 【全增量的概念】 1. 【偏增量与偏微分】 二元函数 对x和对y的偏增量 二元函数 对x和对y的偏微分 3.【全微分定义】 即 【定义】 事实上 可微 连续 【结论】 即： 【证】 总成立, 同理可得 1. 【必要条件】 ⑵可导与可微的关系: 　①一元函数：在某点的导数存在 　 微分存在． ②多元函数：各偏导数存在 　全微分存在． 【举例说明】 在点(0,0)处有 则 当 时， 【结论】多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。故偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。 但如果再假定多元函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的。即有下面的定理。 即 可微 可偏导 【警惕】若偏导数存在，虽能从形式上写出 但它不一定是函数的全微分. 2.【充分条件】 (1)习惯上，记全微分为 (3)全微分的定义（或叠加原理）可推广到三元及三元以上函数 (2)全微分符合叠加原理．即：全微分=各偏微分之和 【注】 【解】 所求全微分 3. 【充要条件】 （即是定义） 【注意】用全微分定义验证一个可导函数的可微性只需 验证 【解】 【解】 故所求全微分为 【证】先证f(x,y)在原点连续 （法1）利用无穷小的性质 （法2）利用夹逼准则 故f 在(0,0)连续. 不存在. 同理 （夹逼准则可证） 多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可偏导 极限存在 １．多元函数全微分的概念； ２．多元函数全微分的求法； ３．多元函数极限、连续、可导、可微的关系． （注意：与一元函数有很大区别） 4. 可微的条件 必要条件（定理1） 充分条件（定理2） 充要条件（定义）