7 74常系数齐次线性微分方程.PPTVIP

微分方程 第七节 一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 四、小结 * * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常系数 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 -----特征方程法 和它的导数只差常数因子, 代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 2. 当 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u = x , 则得 因此原方程的通解为 3. 当 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 ［小结］ 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应(k)项 则其通解中必含 对应(2k)项 特征方程: ［推广］ 【例1】 的通解. 【解】 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 【例2】求解初值问题 【解】特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 【解】 特征方程为 解得 故所求通解为 【例3】 【例4】 的通解. 【解】 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 【例5】 【解】特征方程: 特征根 : 原方程通解: 特征根为 故所求通解为 【解】 特征方程为 【例6】 二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表) * * * *