7 1常数项级数的概念和性质ppt课件.pptVIP

练习6—pp184.5. 判定下列级数的敛散性. * * 作 业 习题7 P184 3.4.5 * * 第7章 无 穷 级 数 无穷级数研究的是无穷多个数量或函数相加的问题，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具．本章先讨论常数项级数，然后讨论函数项级数，着重讨论幂级数及如何将函数展开成幂级数的问题． * * 前言 无穷级数的中心内容是收敛性理论.无穷级数的关键运算是极限. 本章内容由二部分组成：常数项级数、泰勒级数（一类重要的幂级数），后者是函数项级数. 本章的中心问题---函数逼近问题. 对给定的一个函数，如何构造一系列函数（通常是一些比较“简单”的函数）来逼近它？ 1.以什么样的函数来逼近给定函数. 2. 以什么样的方式来逼近给定函数. 7.1 常数项级数的概念和基本性质 [引例]如何用比较简单的数逼近一个复杂的数. 无理数 也可以表示为无穷个有限小数的和的形式，即 7.1.1 常数项级数的概念 定义1 一般地，对于给定的数列 称 为常数项无穷级数，简称级数，记作 一般项 ． 练习1—pp184.3.写出下列级数的一般项. 定义2 级数的前n项和 称为级数的部分和，记作 ，即 则称 收敛，s 称为级数的和，记作 如果数列 极限不存在，则称级数 发散. 如果级数 的部分和数列 的极限存在，即 ， 定义3 当级数收敛时，其部分和 是级数和 的近似值，它们之间的差值 即 常数项级数收敛(发散) 存在(不存在) 叫做级数 的余项， 证明： 显然 因此级数是发散的. 例1 证明级数 是发散的. 级数的部分和为  证明： 例2 证明调和级数 是发散的. 假设级数收敛，其和为s，则有 这与 矛盾，故假设不成立，因此级数是发散的. 而 例3 判定级数的敛散性.  解 级数的一般项 级数的部分和为 于是 ,所以级数收敛,其和为1 练习2—pp184.4. 用定义判定下列级数 的敛散性. 当 时， 解 收敛 发散 发散 发散 综上 当 时， 练习3—pp184.5. 判定下列级数的敛散性. 7.1.2 常数项级数的基本性质 性质7.1.1 设c为非零常数,则级数 与级数 同时收敛或同时发散,且同时收敛时,有 证明：设级数 与级数 的部分和分别为 与 ,则有 于是, 由数列极限的性质, 当 时， 与 同时收敛或同时发散， 即级数 与级数 同时收敛或同时发散,且同时收敛时,有 即有 又如， 收敛,那么 (k为常数)也收敛,且收敛于 . 例如， 发散，那么 ( )也发散. 练习4—pp184.5. 判定下列级数的敛散性. 性质7.1.2 若级数 与级数 都收敛,则级数 收敛,且有 证明：设级数 , 与 的部分和分别为 , 与 ,则有 结论：两个收敛的级数可以逐项相加或相减. 由于 时， 与 极限存在， 知 极限也存在,且有 即有 由性质7.1.1和性质7.1.2， 对于收敛级数 与 ,以及任意常数a,b,级数 也收敛，且有 练习5—pp184.5. 判定下列级数的敛散性. 性质7.1.3 设k为任意正整数,则级数 与 同时收敛或同时发散. 证明：对于任意给定的正整数k,记 , 设级数 的前n项部分和与 的前n-k项部分和分别为 , ,于是有 因此,级数 与 有相同的敛散性. 性质7