浅析数学中美.doc

1数学中的简洁美 爱因期坦说过 [3]“美，本质上终究是简单性．”朴素、简单，是其外在形式，只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美． 世事再纷繁，加减乘除算尽； 宇宙虽广大，点线面体包完． 这首诗[4]，用字不多，却到位地概括出了数学的简洁明了，微言大义．数学和诗歌一样，有着独特的简洁美． 以下将从数学语言的简洁性及数学方法的简洁性两个方面论述数学的简洁美． 1.1 数学语言的简洁性 数学语言是一种特殊的语言，从形式上大致可分为数学文字语言、数学符号语言和数学图式语言． 数学中的文字语言是数学化了的自然语言，或者称为自然语言中的数学语．自然语言常具有模糊性，而数学是严谨的，容不得含糊．所以，数学中的文字语言不是自然语言文字的简单移植或组合，而是经过一定的加工、改造、限定、精确化而形成的，并且，这些语言具有数学学科特指的确定的语义，常以数学概念、术语的形式出现． 如数学中的直线、全等、连续、区间、组合、相似、极限、轨迹等都是自然语言的精确化；绝对值、正值、中线、中位线、有理、无理等都是对自然语言中的文字进行限定的结果；增加几倍、扩大几倍、概率、正弦、可微、可积等都是具有特定含义的数学文字语言．有些数学语言本身还具有比喻或象形意义，如扇形、补角、射影、倒数、锐角、钝角、参数、行列式等数学词语，似乎能给人一种语言直观，使人较为自然、容易地领会和理解． 自然语言是数学文字语言形成与发展的基础，数学文字语言不仅借用了自然语言中的文字，沿用了自然语言中的语法规则，而且在大多数情况下两种语言的语义也是一致的． 符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是在人类数学思维长期发展过程中形成的一种语言表达形式．“数学的效能来自数学符号．”[5]按感知规律，数学符号分为三种：象形符号、缩写符号、约定符号. 象形符号是由数学对象的空间位置结构或数量关系经抽象概括得到的各种数学图形或图式，再经缩小或改造而形成的一类数学符号． 如几何学中的符号、⊙、等都是原形的压缩改造，属于象形符号．缩写符号是由数学概念的西文词汇缩写或加以改造而成的符号，比如函数(function),极限lim(limit)、正弦（sine）、最大（maximal）、最小（minimal）等符号均为此类. 约定符号是数学共同体约定的，具有数学思维合理性、流畅性的数学符号，如运算符号、、、，存在（）、任意（）、全等（）、相似（∽）、大于（＞）、小于（＜）、存在（）、任意（）等均属此类． 图表语言是指包含一定数学信息的各种图或表，可细分为图形语言（几何图形、统计分析图、集合维恩图等）、图象语言（函数图象或统计线图等）和格表语言（统计数据表、分析表、框图等），它们是数学形象思维的载体和中介，也是数学思维的重要材料和结果，而且还是进行抽象思维的一个重要工具． 我们必须确认，图表也是一种数学语言，是数学的一种直观性语言，是对其他两种语言的补充，它与数学概念、术语、符号与式子等一起构成数学语言系统．尤其在当今信息化社会，人们会经常地在各种媒体上看到或阅读到某种载有一定数学意义的图形、图象或格表，这些图形、图象或格表作为信息传递的一种形式具有同文字信息形式相同的功能，但比文字信息更直观．所以，掌握图表语言是现代社会的要求，学生必须学会读图，掌握图表语言，要能够从图形、图象和格表中读出蕴涵的信息来． 三种数学语言各有优势与不足：文字语言通俗、易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构；数学符号虽然抽象，但十分简洁，描述起来给人以结构感；图表语言比文字语言和一般符号语言更具直观性，容易形成表象．为了使数学内容不那么难懂，能够借助母语理解，在实际表述数学思想内容的时候，常结合自然语言的表述，所以，一种数学思想内容的表达常是数学符号语言、文字语言、图表语言和自然语言的优势互补和有机融合． 数学语言作为一种语言，是数学交流的工具，是数学思维的载体．但是它和自然语言(如汉语、英语)却有着诸多不同．数学语言抽象而精确、简练而多样、科学而通用． 1.2 数学方法的简洁性 应用题的解法常有多种，我们也提倡解决问题的方法多样化，那么在这多种解法中如何判断其优劣呢?其最主要也是最基本的标准——是否简捷． 例1.2.1 一条路长1200米，某工程队前3天修了全长的，照这样计算，修完这条路还需几天? 解法一： (天) 解法二： (天) 解法三： (天) 解法四： (天) 后两种解法运算量小，道理也很清楚，特别是第四种解法．利用天数与与工作量的关系，一下子算出总天数，再减去已用的3天，马上得解，因而也是最清楚、最美的解法． 在高等数学中,求不定积分比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来得困难,因为其中需要技巧. 我们提倡快乐数学，用朴素、简明、生动的语言表达深奥的道理. 把求不定积分的主要技巧、思路经过提炼，编