24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.docVIP

24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 课前预习 1.线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。 当堂训练 知识点1：线段垂直平分线的性质 1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要 使钢索AB与AC的长度相等，需加_ _______条件，理由是___ _____． 2.（09钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有 A．AB垂直平分CDCD垂直平分AB AB与CD互相垂直平分CD平分∠ACB 4.如图所示，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD， 若∠CAD=20°，则∠B=（ ）． A．20° B．30° C．35° D．40° 知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理 5.AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于点E．给出以下两个定理： 　线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 　到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 　应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线． 　点A在直线l上， 　　AM=AN（　　　）． 　BM=BN，　　点B在直线l上（　　　）． 　CM≠CN，点C不在直线l上． 这是因为如果点C在直线l上，那么CM＝CN（　　　）．　　这与条件CM≠CN矛盾． 　以上推理中各括号内应注明的理由依次是（　　）　A．　B．　 C．　　D． 典例精析 【例1】如图所示，在△ABC中，D为BC上的一点，连结AD，点E在AD上，并且∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD垂直平分BC 【分析】证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线，可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，也就是通过得出EB=EC，AB=AC，从而证明出AD垂直平分BC 【证明】∵∠1=∠2，∴EB=EC， ∴点E在线段BC的垂直平分线上。 又∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠ABC=∠ACB， ∴点A也在线段BC的垂直平分线上。 ∴AD垂直平分BC 【方法归纳】证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法： 第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分； 第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。 误区警示 【例2】判断：若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线 【错解】正确 【错因剖析】PA=PB只能说明点P在AB的垂直平分线上，但不是过点P的直线就是DE的垂直平分线，产生错误的原因是线段的垂直平分线的判定理解不透。应再找到到A、B距离相等的第二个点 【正解】 7.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若PA=10 cm，则PB=______cm。 8.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BC=___ __cm；△ABC的周长是__________cm. 9.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， 沿着过点B的一条直线BE折叠△ABC使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于________． 10.(09泉州)如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　　　　　　． 11.(09肇庆有改动)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=36°，线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D，交 AC于 E，连接BE．求证：∠CBE=36°； ． 12.已知：如图△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P． 求证：点P在AC的垂直平分线上． 13.（09.梧州）如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于E，连结AE、CD． （1）求证：AD＝CE； （2）填空：四边形ADCE的形状是 ． ，，且BC=CD，过点D作，交的平分线于点E，连接BE．将绕点C，顺时针旋转得到，连接EG.． 求证：CD垂直平分EG. 1.BD=DC 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 2.A 3.B 4.C 5. 垂直平分线 6.D 7. 10 8. 12, 17 9.30° 10. 6 11.∵DE是AB的垂直平分线，∴， ∴． ∵， ∴． ∴ 12.连接PA、PB、PC，则有PA=PB，PB=PC，