第8章 极坐标3.pptVIP

* * 弹性力学 蒋 玉 川 2007.5.17 §8-5 楔形体在顶端承受集中荷载 设单位厚度楔形体的顶角为2α，下端无限长，作用在楔顶的集中力P与中心线成β角，如图8-8所示。 图8-8 r 采用因次分析确定应力函数 的形式。显然，楔形体内一点的应力分量取决于 ，而 为无因次量，用N统一表示。并命单位宽度上所受的力为P ，其因次是 ，r的因次是[长度]。由于应力的因次是 。所以，各应力分量的表达式只可能是 的形式。这就是说，在各应力分量的表达式中，r只可能以负一次幂出现。 因此，可以假设应力函数为： (8.37) 代入变形协调方程(8.10)得 特征方程为： 特征根： 通解为 代入(8.37)式得： 式中的前两项： 不影响应力，可以删去。 因此可取： (8.38) 由式(8-9)可得： (8.39) 楔形体两侧边界上无外力作用，其边界条件为 由式(8.39)的后两式可见，能自然满足。 为了求出常数C、D，还有一个由边界条件变来的平衡方程可以利用，即取图8-8中半径为的圆柱面以上部分的平衡条件来考察。 (8.40) 将式(8.39)的第一式代入上式有 积分后得： 由此得， 代入式(8.39)得楔形体内任意一点处的应力分量表达式 将(8-41)式变换成用直角坐标表示的应力分量，则 考察二种特殊情况. 图8-9 例8-3 半平面体在直角边界上受有一集中力偶作用，其单位宽度上的力偶矩为M，试求应力分量。 解：1.确定应力函数 图8-10 根据因次分析确定应力函数，单位宽度上的力偶的因次是[力]，应力分量的因次是[力][长度]-2 ，故为NM/r-2 的形式。因此，应力函数可以推设为 代入变形协调方程(8-10)得： 特征方程和特征根为 故： 所以 由于受力的反对称性： 故所以 (8.45) 2. 确定应力分量 (8.46) 3 .边界条件定常数 ② 取以上部分作为脱离体，由 ① (8.47) 即， 将(8.47)式代入得： 故： §8-6 半无限平面边界上受法向集中力 当楔形体的中心角等于平面角时，其侧面成为直线，楔形体成为半无限平面。如图8-11所示，其边界上受集中力作用时，它的应力分量在(8-41)式中令 ： 即可求得： (8.50) 图8.11 d 可见：任何点与矢径垂直的微面均为主平面，因为在此面上的切应力等于零，另外，式(8-23)在集中力作用点附近不适合，此时， 经过o点作与y轴相切的圆，圆周上任意点M的矢径为r，幅角为 ，它们与该圆的直径 有如下关系： 代入(8-50)式得： (8.51) 它与θ无关，因此在圆周上的任意一点处，除荷载作用点o以外，径向应力σr相同。同样地，任何经过力P作用点o并与轴相切的圆，其圆周上各点的σr都相等，因此称此圆为等应力圆。如图8-11所示。对于不同的圆周上，应力分量随直径增大而减小。 进一步考察距边界为的水平截面上的应力分布。用应力坐标变换，可由式(8-50)得出直角坐标中的应力分量。亦可将 代入(8-42)式得， (8.52) 说明：如有均布荷载q作用在边界AB上，则将dy段上的荷载视为qdy集中力，并考虑作用点在横坐标上的流动性，代入(8.52)式积分，即可得解答。 图8-12 例 8.5 半平面上在其一段边界上(长2a)受均布法向荷载q，如图所示。试证，体内应力分量为： 解：求 P点的应力分量 将其视为无数个qdy的集中力在P点引起的应力叠加，即由（8.52）的第一式，积分可得： a a x y q P o 为了求得位移分量的表达式，假定为平面应力问题，将应力分量式(8-23)代入物理方程，得应变分量如下： （8.53） 再将(8.53)代入几何方程(8-2)有， （8.54） （8.55） 由式(8.54)得： （8.56） （8.57） 将式(8.57)代入式(8.55)： (8.58) 积分得： 将式(8.57)、 (8.58)代入式（8.56），并且两边乘以r，则 移项化简得： （8.59） 方程(8.59)左边只是θ的函数，右边只是r的函数，因此，方程两边都等于同一常数F，即 (8.60) (8.61) 方程(8.60)、(8.61)两边分别 对和r求导： (8.62) (8.63) 解得： (8.64) 将式(8.64)代入式(8.57)，式(8.64)和(8.65)代入式(8.58)得位移分量为， (8.65) ①.