数模训练：习题解答1.ppt

* 棋子颜色的变化 任意拿出黑白两种颜色的棋子共n个,排成如图所示的一个圆圈.然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子.再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋 子的颜色会怎样变化呢? n=8有结论： 设 黑子用 +1表示，白子用 -1表示。 记 8颗分别为 a1, a2,…, a8 , ( ai=+1,-1) 第0次： a1 a2 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 第1次： a1 a2 a2 a3 a3 a4 … a7 a8 a8 a1 第2次：a1 a22 a3 a2 a32 a4 … a8 a12 a2 .。。。 .。。。 . 第8次： a1 a28 a328 a456 a570 a656 a728 a88 a1 ,… 至多经过8次变换，棋子的颜色全变黑。 问题：对任意整数n，棋子的颜色能全变黑吗？ 仍用杨辉三角形法 猜想： n=2k(偶数)时全变黑 n= 2k时全变黑 1.实验 2.理论分析： 考察： 是否全为偶数 任意整数n可表为： n为偶数：n=2kq （q为奇数） n为奇数：n=2kq -1（q为奇数，k1整数） q=1时， 对任意i=1,2,… 2k-1 , i含2的因子 少于2k，{ }中分子与分母的偶因子数相同，故 其中ri,pi是奇数 故 为偶数 因为 为整数 为整数（因为 无公因子） 则 q1时， 取i= 2k，则 { }中分子与分母的偶因子数相同，上式为奇数。 n为奇数：n=2kq -1（q为奇数） 取i= 2k-1，则 分子与分母的偶因子数相同，上式为奇数。 因此得结论： 1 n=2k，k=1,2,… 至多经过n次变换，棋子的颜色全变黑。 2. n?2k，k=1,2,… 经过n次变换，棋子的颜色不一定全变黑。 但至少两种情况，棋子的颜色全变黑。 3. n?2k，k=1,2,… 因为n个棋子的排列种数是有限个，故棋子的颜色变化将形成循环。 有一博弈者将得到一项奖金x，这里x由他按下述方式选择：从一个具有密度函数为 的样本空间中随机抽取。如果他愿意，可保留抽取值x。如果他不愿意，可放弃而另行抽取。抽取可重复三次，问他希望得到最大的期望奖金，应采取的最优策略是什么？ 记 X---抽取三次的最大值， X是随机变量。 则 X的分布函数为： 故X的分布密度函数为 分析： 要求抽取三次的最大奖金的期望值. 故最大的期望奖金为 推广：抽取n次，希望得到最大奖金的期望值,应采取的最优策略是什么？ 应采取的最优策略是:当抽到的值大于或等于3/4时保留，小于3/4时放弃。 故X的分布密度函数为 * * * * *