概率论与数理统计课件5.1-5.2.pptVIP

§1 大数定律 事件发生的频率具有稳定性，即随着试 验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数。 设随机变量序列Y1, Y2, … ,Yn, …，a是一常数，若对于任意正数ε，有： §2 中心极限定理 定理一 独立同分布的中心极限定理 若X1,X2,…是一列独立同分布的随机变量，且EXi=μ,D(Xi)=σ2（σ20）, i=1, 2 , … , 则对任给的实数x,有 定理三 棣莫弗—拉普拉斯（De Moirre-  Laplace）定理 设μn~b(n,p)，则对于任给的实数x,有 例 某厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02，各台机器工作相互独立 ，试用中心极限定理计算机器出故障的台数大于2的概率. 第五章 大数定律与中心极限定理 背景 大量测量值的算术平均值也具有稳定性 设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε 0 ， 弱大数定律（辛钦大数定律） 辛钦 注: 辛钦大数定律不要求随机变量的方差存在. 则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于a , 记为 f ( x )为连续函数， 则 设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限的 数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 弱大数定律（辛钦大数定律） 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值 提供了一条实际可行的途径. 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一： 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用. 平均结果的稳定性 例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 伯努利大数定律 或 伯努利 设 是n重伯努利试验中事件A发生的次数， p是每次试验中事件A发生的概率，则对任 给的ε 0， 贝伯努利大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率fA /n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 伯努利大数定律提供了通过试验来确定 事 件概率的方法. 蒙特卡洛方法计算定积分（平均值法） 求 的值( f ( x )连续). 计算原理： 设X~U(0, 1) 由大数定律 因此，当n充分大时， 均值法步骤： 1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数xi, n=1,2,…,N 2) 计算f(xi)， n=1,2,…,N 3) 用平均值近似积分值 即 背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响. 如瞄准时的误差、空气阻力所产生的误差、 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 这些随机因素的总影响可表示成独立随机 变量之和 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么？ 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量(随机变量的和）一般都服从或近似服从正态分布. X1 ~f(x) X1 +X2~g(x) X1 +X2+X3~ h(x) 几个(0,1)上均匀分布的和的分布 0 1 2 3 x f g h 一枚均匀的骰子连掷 n 次，点数之和为 : 第i 次出现的点数， i =1,2,…,n 概率论中,把在一定条件下大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理,称为中心极限定理.是另一类重要的极限定理. 例 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 由题给条件知，诸Xi独立， 16只元件的寿命的总和为 解 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 E(Xi)=100, D(Xi)=10000 依题意，所求为P(Y1920) 由于E(Y)=1600, D(Y)=160000 由中心极限定理, 近似服从N(0，1) P(Y1920)=1-P(Y?1920) =1-?(0.8) ?1- =1-0.7881=0.2119 解