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第三章 动量与能量3.1 动量定理与动量守恒定律 一、动量定理 二、动量守恒定律 一、动量定理1、概念的推导 由牛顿第二定律可知 Fdt = d(mv) 在质点质量看成不变的情况下，在一段时间（从t1到t2）内对等式两边积分，得 式中v1 、p1 和v2、p2分别为质点在外力F的作用下，在时刻t1和t2的速度和动量 通常把上式左边的矢量，称为在时间间隔(从t1到t2)内作用在质点上的冲量(impulse)，用I表示，即 I = 如果F是恒力，作用时间为Δt，则冲量为I = FΔt 于是， 上式表明，质点在一段时间内动量的增量，等于在该时间间隔内（合外力）作用在该质点上的冲量，这个结论称为质点的动量定理(theorem of momentum) 2、冲力 如果物体受到的作用时间很短，而动量却发生了一定（比较可观）的变化，则这时的相互作用力一定是相当大的，这种力称为冲力（impulsive force）。 由于动量的改变量只取决于整个作用时间内的冲量，与力跟时间的变化关系无关，所以常采用平均冲力来表示冲力的大小，即 例题 一质量为m = 10kg的重锤从高度h = 2m处自由下落，与被加工的工件碰撞后末速度变为零。若撞击时间Δt分别为0.1s和0.001s时，平均冲力的大小分别为多大？ [解] 以重锤为研究对象，设向下方向为正方向。 重锤下落到工件处碰撞时的初速度为 撞击后末速度为v2 = 0。重锤受到的冲力F方向向上，则根据动量定理可知 mg – F = 则两种情况下的平均冲力分别为 F1 = mg – = 10×9.8 – = 724(N) F2 = mg – = 10×9.8 – = 62708(N) 重锤对钢板的冲力为重锤受到钢板冲力的反作用力，它们等值反向。 我们发现，撞击持续时间越短，平均冲力越大。 当作用时间为0.1s时，F1/mg = 7.4； 当作用时间为0.001s时，F1/mg = 640，与冲力相比，重力已经微不足道。 二、动量守恒定律 力的作用是相互的，一物体受到其他物体对它的作用力，动量发生变化；同时它对其他物体也有反作用力，使其他物体的动量发生变化。 由于作用力的冲量与反作用力的冲量等值反向，因此，一物体的动量增量等于其他物体的动量负增量。 也可以这样说，如果几个物体一个系统，且系统不受外力作用（或合外力为零），这些物体之间只有相互作用力（内力），尽管系统内各物体在内力相互作用下动量发生了变化，但是各系统的总动量保持恒定，即 Σmivi = 恒量 这个结论称为动量守恒定律（law of conservation of momentum），它是物理学中最基本的普适原理之一。 注意 系统动量守恒的条件是系统不受外力作用，但是如果外力比内力小得多的情况下，外力对系统的总动量变化影响很小，这时可近似认为系统仍然满足动量守恒条件。例如对于碰撞、击打、爆炸等问题，由于作用时间极短，系统之间的相互作用力（内力）很大，一般的外力与之相比可以忽略不计，可以认为系统的动量仍然守恒。 例题 任何物体都有一定的弹性，弹性恢复系数是反映物体弹性的一个物理量。如果两个由同种材料制成的物体m1和 m2相互作用前后，速度的大小分别是v10、v20和v1、v2，则这种材料的弹性恢复系数e为两物体的分离速度v2 - v1与接近速度v10 - v20的比值，即 测量材料弹性恢复系数的一种方法是用该材料制成的小球，从一定高度落下，撞击由同种材料制成的大平板，然后测出小球的回跳高度。设有一小钢球，在高度为h1 = 2.5m处自由落下，与水平大钢板碰撞后，回跳高度为h2 = 1.6m。则钢的弹性恢复系数为多少？若钢球的质量为m = 0.1kg，对钢板的撞击时间为Δt = 0.01s，则钢球对钢板的撞击力为多大？在碰撞过程中，小球损失的机械能为多大？（不计空气阻力） [解] 取小钢球为研究对象，取向下方向为正方向 则小球与平板作用时的初速度为v10 = 作用后的末速度为v1 = - 平板作用前后的速度都可看成为v20 = 0，v2 = 0 则钢的弹性恢复系数为 小球受到两个作用力：重力mg和平板对它的撞击力F，根据动量定理可得 则: 小球损失的机械能为 ΔEk = Ek0 - Ek 讨论 如果弹性恢复系数为e = 1，则小球能弹回原高度，说明在碰撞过程中没有能量损失（这是理想情况）