9 虚功原理和结构的位移计算2012.09.06.ppt

第9章 虚功原理和结构的位移计算 制作人：叶帅华 本章提要 本章主要讨论应用虚功原理计算静定结构的位移。 在静定结构与超静定结构分析中，本章内容起着承上启下的作用：既是静定结构的结尾，又是超静定部分的先导。 首先，讨论刚体体系的虚功原理及其两种应用：求约束力；求位移。 然右，讨论变形体体系的虚功原理，位移计算的一般公式，荷载、温度和支座移动等作用下的位移计算，及图乘法内容，为本章的重点。 最后，介绍线性变形体系的互等定理 1. 截面位移 9-5 图乘法 二、 常见图形的几何性质 应用图乘时 1、如果一个图形是曲线，一个图形是直线，则y0应在直线图形中选取。 2、如果两个都是直线图形，则y0可以取自任意图形。 3、遇到有些情况需分段、叠加计算 （1）分段 一个图形是曲线，一个图形是直线 （2）叠加 在MK图形的面积的计算或形心位置的确定比较复杂时，可将复杂图形分解为简单的图形。 图乘法位移计算举例 9-6 温度作用时的位移计算 9-7 支座移动时的位移计算 9-8 线性变形体的互等定理 三、反力互等定理 本章小结 (1)虚功原理是力学中的基本原理。 本章小结 (1)虚功原理是力学中的基本原理。 (2)位移计算的基本方法是单位荷载法。 (3)荷载作用下的位移计算。 (4)图乘法。 (5)互等定理是力学分析中的基本定理 。 C A D B 1 0.5 0.5 h/d h/d 求ΔDH d/2 d/2 2）求 C A D B 1/h 1/h 0 0 求ΔφC d/2 d/2 1 1 3）求 C A B h d/2 d/2 a D 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。 一、 功的互等定理 功的互等本质上是虚功互等。 下图给出状态I和状态II。 状态II A B 1 2 a b A B 1 2 a b 状态I 令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到： 状态II A B 1 2 a b A B 1 2 a b 状态I 同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到： 所以 即 定理 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。 二、 位移互等定理 定理 在任一线性变形体系中，由荷载P1引起的与荷载P2相应的位移影响系数 等于由荷载P2引起的与荷载P1相应的位移影响系数 。 即 即 由功的互等定理可得： 在线性变形体系中，位移Δij与力Pj的比值是一个常数，记作 ，即： 或 于是 所以 状态II 1 2 状态I 1 2 1 2 1 2 说明： (1) 也称为柔度系数，即单位力产生的位移。 i 产生位移的方位； j 产生位移的原因。 (2) P1和P2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的 和 就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲 上仍然保持相等。 例9-9 验证位移互等定理。 解： a/2 a/2 1 EI P1=F Δ21 2 a/2 a/2 1 EI P2=M Δ12 2 F Fa/4 M 1 1 a/4 1/2 M/2 所以 例9-10 验证位移互等定理。 4m 1m 1 EI P1=5kN.m Δ21 2 4m 1m 1 EI P2=3kN 2 Δ12 解： 所以 1 5 3 1 1 1 反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。 1 2 C1 R21 R11 状态I 1 2 C2 R22 R12 状态II 根据功的互等定理有： 在线性变形体系中，反力Rij与Cj的比值为一常数，记作rij，即 或 所以 得 说明： rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为 。 i 产生支座反力的方位； j 产生支座移动的支座。 例9-11 验证反力互等定理。 可见：r12=r21 定理 在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。 1 2 EI l C2=1 1 2 EI l C1=1 r21 r12 r21=3EI/l2 3EI/l 3EI/l3 r12=3EI/l2 虚功:力P在由非该力引起