第2讲 分数的分拆及答案.doc

第二讲 分数的拆分参考答案 【知识要点】 1、基本概念 单位分数:分子为1,分母是非零自然数的分数叫单位分数; 分数的分拆: 把一个分数拆分成几个分数相加的和或差,叫做分数的拆分; 2、方法和技巧 (1)把一个单位分数拆分成几个单位分数相加的和(或差); (2)把一个真分数拆分成几个单位分数相加的和(或差); (3)把一个假分数拆分成几个单位分数相加的和. 3、分数拆分的意义 计算某些分数数列的和时,常采用“裂项相消法”,即先把其中的一些分数适当拆分,把算式中各项分解成两个数的差或和,使得其中一部分可以相互抵消,消去其中的若干个分数,从而达到简化计算的目地. 4、几个常用的分数拆分公式: ; ; . 一、巧填 例1在等式的括号中填入适当的自然数,使等式成立. 解析 在等式中,从左往右看,是分数的拆分;从右往左看的话,则是分数的加法.因此可见,分数加减法和拆分是完全相反的两个过程.分数加法的计算过程:通分,合并,约分;所以拆分的过程为:扩分,拆分,约分. 考虑8的约数:1,2,4,8.从中任选两个,取其和作为扩分的倍数. 特殊地. 注1 解答形如之类的分拆题目,如果只求一组解,可用公式直接写出;如果要求写出几组解,就先写出的约数,任取其中的2个约数,把的分子分母同时乘以这两个约数的和,再拆分成两个分数的和,通过约分,两个分数就都可以变成单位分数;如果要把的拆分成三个、四个单位分数的和,就取的三个、四个约数…… 练习一 1.当时,求的值. 解析 所以这是一个简单的开放题. 答: 的值可以是16,15,25等. 2.写出两组满足条件的的值,其中为两个不相等的四位数. 解析 思路与例1完全一样. 3.在的每个括号中填入一个数,且要求所填的两个分母均为两位数,这三个分母不互质,即其最大公约数不等于1. 解析 满足条件. 二、巧填 例2 将拆分成三个单位分数之和(任求一解). 解析 一种方法是:可以先分拆成两个单位分数的和,然后再将其一个单位分数再拆分;例如;(答案不唯一) 另一种方法则是将例1的思想加以推广.例如 .其它的拆分方法可类似地得到,略. 练习二 1. 试计算:(任求一解). 解析 . 2.在下面的算式中的每个括号里填入一个适当的数,使等式成立. 解析 3.把1拆分成五个不同的单位分数之和(任写三组解). 解析 其中最后一种方法是巧借完全数. 三、巧填 例3在下面的算式中的每个括号里填入一个适当的自然数,使等式成立. 解析 思路与例1类似,考虑到分母15的约数有:1,3,5,15,发现其中的1与3的和正好等于分子,由此我们得到同样.所以拆分的结果不是唯一的.特别应该注意的是,并不是所有的真分数都可以分拆成两个单位分数的和,但一定可以分拆成多个单位分数的和.例如不可能拆分成两个单位分数的和. 练习三 1.把下列真分数拆分成两个单位分数和或差的形式: (1) ; (2). 解析 (1) (2). 2．若是自然数,求符合条件的的值. 解析 3．如果那么是多少? 解析 请同学们思考题之，如何把假分数拆分成四个单位分数之和.例如 拆分的方式很多,尤其是在分数的加减法运算中,具体如何拆分,关键看题的构造. 例4 把表示成最少的几个分子为1、分母尽可能小且互不相同的分数的和.试写出这几个单位分数的和的式子. 解析 原分数的分母29是质数,除了1和29外,没有其它约数.因此无法象例3那样进行拆分.解决的方法是:利用分数的基本性质,先扩分,再拆分.例如 . 这是由于2是除0和1外的最小的自然数,所以这样拆分是个数最少,分母也尽可能小,而且三个公母互不相同,答合题意.这道题也可以从最小的单位分数入手考虑,同样会得到相同的结果. 练习四 1.在下面算式的括号中,填入适当的不同的自然数:. 解析 ;同样,所以答案不唯一. 2.试将分数拆分成三个不同的单位分数之和. 解析 . 3.有七个单位分数之和等于1,其中的三个分数分别是,其余四个分数的分母都是偶数.请你写出这四个分数. 解析 将其分解成分母均为偶数的四个单位分数的和即可,例如 【课后精练与思考题】 1.在下面的算式中, 所有的分母都是四位数,请在每个括号中填入一个适当的数,使等式成立.解析 ,(3,1)是借助于其约数3,1的差进行扩分. 2.在下式中的方括号和圆括号中,分别填入适当的自然数,使等式成立,圆括号中应填多少? (1) ; (2) (1999年小学数学奥林匹克预赛A(B)卷试题) 解析 (1); (2) . 3．在算式中,代表三个不同的自然数,这三个自然数分别是多少？ 解析 4.已知两个不同的单位分数之和是,那么这两个单位分数之差的最小值是多少? 解析 最小值是.因为12的约数有1,2