第七讲 中值定理与洛必达法则 2012-2-29.doc

第七讲 中值定理与洛必达法则 §4.1 中值定理 教学过程： 一、罗尔定理及其应用 1.【罗尔定理】 设,, 且，则, . 证明：因,， ,. （1）当时,则, 那么 . 取 ，有. (2)当时, 因，所以不可能同时在端点达到. 不妨设 ，则在区间内达到，即至少存在一点使得，由于，即 又因为 且 所以 . 2．几何意义：光滑曲线 在区间两个端点纵坐标相等且在除 端点外处处有不垂直于轴的切线， 则曲线在区间内至少有一条水平切 线（或称曲线在区间内至少有一条 与横轴平行的切线）. 例1 验证函数 在区间上罗尔定理 成立. 提示： ， 满足罗尔定理的条件， 所以，使得 例2 不用求出的导数,试判别方程有几个实根.以及根所在的范围. 解：显然在区间,上都连续,在区间, 内都可导,且,由罗尔定理知, ,,； 由于方程是二次多项式,知其至多有两个实根, 所以方程有而且只有两个实根. 注意：当罗尔定理的三个条件有一个不满足时，定理的结论就可能不成立.如图所示 例3设,,且， 证明：,. (提示构造函数) 提问1：设,,且， 则,. 提示：构造函数则，可以用罗尔定理证明. 提问2：设,,且， 则,. 提示：构造函数，则，可以用罗尔定理证明. 提问3：设,,且， 则,. 提示：构造函数,则 可以用罗尔定理证明. 说明：根据题设找出满足罗尔定理条件的函数是证明问题的关键. 例4 (03.8) 设函数在上连续,在内可导,且 ,,试证必存在,使. 证 由条件知在上连续,那么在上取得最小值与最大值,于是, 由介值定理知,存在,使得; 在上连续,在内可导,且 ,由,存在,使得. 二、拉格朗日中值定理及其应用 1．【拉格朗日中值定理】 设，, 【或】. 此式称为拉格朗日中值公式. 证明：构造函数 , . 因为，所以； 又 , 又因为 ，即. 所以由罗尔定理知：,,即 , 所以 ，. 注：1）还可以设 ，进行证明. 2）拉格朗日中值定理在时成立.拉格朗日中值定理也称 为微分中值定理.或有限增量定理，它精确表示了函数在一个 区间上的增量与函数在此区间内某点导数间的关系. 3）令，其中，则拉格朗日中 值公式的另一种表现式：，. 或，.（微分中值公式） 2．几何意义：连续曲线 在区间内处处有不垂直于轴的 切线，则曲线在区间内至少有一 点的切线与与弦平行.(如图) 提问：(87.2) 设在 内可导且,则至少存在一点,使得 　 . (A) (B) (C) (D) 　 答 (C). 由条件知在上拉格朗日定理条件,至少存在一点,使时，. 证明: ,由于,,且 , 那么由拉格朗日中值定理知：, ,即 , 且当时, . 例6. 证明不等式:. 证　当时,结论显然成立. 若,不妨设,令,显然 在上连续,在内可导,由拉格朗日定理知, 必 ,使得 , 所以　　　 . 综上所述 对任一个实数均成立. 练习：证明不等式:时，成立. 4．【推论1】若函数满足且 ,则,,(为常数) . 证明：设，且.由知在上满足拉格朗日中值定理条件，即至少存在一点，使得， 又因为 ,所以 从而 故 ,,(为常数) . 提问5：设在内满足关系式，证明：. 提示：构造函数 可以用拉格朗日定理的推论可证明. 5．【推论2】如果在区间内恒有，则在区间内恒有与至多相差一个常数即（其中为常数）. 证明提示：令利用推论1即可以证明. 例7 求证 提示：设 由推论1或2即可证明. 练习：求证 三、柯西中值定理及其应用 【柯西中值定理】设，， ， 则, . 此式称为柯西中值公式. 证明：(1) 由条件知： , . [因] (2)构造辅助函数【引入直线的函数表示：辅助函数设法不唯一，类似拉格朗日定理证明中的辅助函数设法】 , . , , . 因为 ，所以， 由罗尔定理知：,,即 , 所以 . 2．几何意义 曲线 两个端点构成 一弦，则曲线在区间内必 有一切线与此弦平行. 提问6：设，, 则, . 提示：令，利用柯西定理即可证明. 提问7：设, 则,， 其中. 提示：令利用柯西定理即可证明. 例8（期末考试题）设可导，求证：的两个零点间一定有的零点. 证明：设，由可导知可导，且；由可导推得连续， 设为的两个零点，即所以；从而在区间上满足罗尔中值定理条件，所以存在点使得，即， 故 的两个零点间一定存在有 的零点. 例9（期末考试题） 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则在内存在点，使得. 证明：设，又因为 所以函数在上满足罗尔中值定理条件，所以至少使得，即. §4.2 洛必达法则 教学过程： 一、型，型未定式 【定理】（洛必达法则） 设(1)（或为） (2)，且