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第八讲 正方形 博达教育中学部 数学组 任意四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 两组对边平行 一个角是 直角 邻边相等 邻边相等 一个角是 直角 温故知新 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 四边形 四边形，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图 项目 四边形 对边 角 对角线 对称性 平行四边形 矩形 菱形 正方形 平行且相等 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 几种特殊平行四边形的性质：学.科.网 四边形 条件 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 几种特殊平行四边形的常用判定方法：学.科.网 1、定义：两组对边分别平行 2、两组对边分别相等 3、一组对边平行且相等 4、对角线互相平分 1、定义：有一外角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形 初级挑战1 下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的 是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形 B 完成初级训练1 初级挑战2 下列说法正确的序号是 . ①对角线相等的菱形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； ③对角线垂直且相等的四边形是正方形； ④四条边都相等的四边形是正方形； ⑤四个角相等的四边形是正方形． ①② 完成初级训练2 初级挑战3 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ） （A）10° （B）15° （C）20° （D）25° ∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，∴CE=CF，∠DFC=∠BEC=60°，∠EFC=45°，∴∠EFD=60°-45°=15°． B 初级训练3 已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF 证明：∵四边形ABCD是正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，∴∠CBA=∠ADC=90°，AB=AD， ∴∠FBA=∠EDA=90°， ∴△FBA≌△EDA，（SAS） ∴AF=AE，∴∠AFE=∠AEF． 中级挑战1 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF． 证：∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD,∠ABF=∠ADE=90° 又∵DE=BF ∴△ABF≌△ADE(SAS) 1 2 3 ∴∠1=∠2 ∵∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=∠FAE=90° 故EA⊥AF 已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF． 中级训练1 证明：延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图）， G 1 2 3 4 5 ∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∴△ADF≌△ABG(SAS)， ∴∠1=∠G，∠3=∠2=∠4， 又∵AB∥CD∴∠1=∠4+∠5=∠3+∠5=∠GAE ∴∠G=∠GAE∴AE=GE=GB+BE=BE+DF 中级挑战2 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F． 求证：OE=OF 1 2 3 证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴OD=OA，∠DOF=∠AOE=90° 又∵DG⊥AE ∴∠1+∠3=∠2+∠3=90° 故∠1=∠2 ∴△DOF≌△AOE(AAS) ∴OE=OF 中级训练2 已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F. （1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值； （2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值. （1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值； 解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠PAE=∠PB