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第7章 主成分分析(PCA) principal component analysis 主成分分析的基本思想 (以两个变量为例) 主成分分析的基本思想 (多维变量) 主成分分析的数学模型 1 计算步骤 （1）对原变量的样本数据矩阵进行标准化变换 1 计算步骤 1 计算步骤 方法一: 利用SPSS进行主成分分析 SPSS没有提供主成分分析的专用功能，只有因子分析的功能。但是因子分析和主成分分析有着密切的联系。因子分析的重要步骤——因子的提取最常用的方法就是“主成分法”。利用因子分析的结果，可以很容易地实现主成分分析。具体来讲，就是利用成分矩阵（因子载荷阵）和相关系数矩阵的特征根来计算特征向量。即： 其中，aij为第j个特征向量的第i个元素；tij为因子载荷阵第i行第j列的元素；λj为第j个主成分对应的特征根。然后再利用计算出的特征向量来计算主成分。 主成分分析 某市工业部门13个行业的8项重要经济指标的数据，这8项经济指标分别是： X1：年末固定资产净值，单位：万元； X2：职工人数据，单位：人； X3：工业总产值，单位：万元； X4：全员劳动生产率，单位：元/人年； X5：百元固定资产原值实现产值，单位：元； X6：资金利税率，单位：%； X7：标准燃料消费量，单位：吨； X8：能源利用效果，单位：万元/吨。 （一）利用SPSS进行因子分析 将原始数据输入SPSS数据编辑窗口，将5个变量分别命名为X1～X5。在SPSS窗口中选择分析→降维→因子分析菜单项，调出因子分析主界面，并将变量X1～X5移入变量框中，其他均保持系统默认选项，单击OK按钮，执行因子分析过程 （二）利用因子分析结果进行主成分分析 1. 将成分矩阵中的数据输入SPSS数据编辑窗口，分别命名为t1和t2。 2. 计算第一个特征向量，点击菜单项中的转换→计算变量，调出对话框，在对话框中输入等式 a1=t1 / SQRT(3.105) 点击OK按钮，即可在数据编辑窗口中得到以a1为变量名的第一特征向量。 同样方法可以得到以a2为变量名第二特征向量。 7.4主成分的应用之 二——聚类 综合评价:如何选择评价指标体系? 如何对这些指标进行综合? 指标权重如何更加客观？ 主成分根据样本数据提供的信息计算指标的权重，客观加权，可以避免综合评价者的主观影响，在实际应用中越来越受到人们的重视。 如何确定权重？ 将主成分的权数根据方差贡献率来确定，因为方差贡献率反映了各个主成分的信息含量多少。 主成分综合评价实例 某市工业部门13个行业的8项重要经济指标的数据，这8项经济指标分别是： X1：年末固定资产净值，单位：万元； X2：职工人数据，单位：人； X3：工业总产值，单位：万元； X4：全员劳动生产率，单位：元/人年； X5：百元固定资产原值实现产值，单位：元； X6：资金利税率，单位：%； X7：标准燃料消费量，单位：吨； X8：能源利用效果，单位：万元/吨。 计算这些指标的主成分，然后通过主成分的大小进行排序 利用主成分得分进行综合评价时，从特征向量我们可以写出所有8个主成分的具体形式： 以特征根为权，对8个主成分进行加权综合，得出各工业部门的综合得分，具体数据见表。 综合得分的计算公式是： 计算出各工业部门的综合得分，并可据此排序。 特征根和方差贡献率表 。 利用第一、二个主成分进行分类 若第一、二个主成分的 累积贡献率 ， 则由第一、二个主成分在平面上 的散点图，实现对样品进行分类 7.4主成分的应用之 三——综合评价 某市工业部门13个行业8项指标 如何从这些经济指标出发，对各工业部门进行综合评价 与排序？ Z1 Z1 Z1 Z1 特征根和累计贡献率 特征向量 各行业主成分得分及排序 从上表可以看出，机器行业在该地区的综合评价排在第一， 原始数据也反映出机器行业存在明显的规模优势，另外从 前两个主成分得分上看，该行业也排在第一位，同样存在 效益优势；而排在最后三位的分别是皮革行业、电力行业 和煤炭行业。 7.1 主成分分析的基本思想 7.2 样本主成分的计算过程 7.3 选择主成分的方法 7.4 主成分的应用 背景:一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(stone)在1947年关于国民经济的研究。他曾利用美国1929一1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。 在进行主成分分析后，竟以97.4％的精度，用三新变量就取代了原1