计算机图形学 第十章2003.pptVIP

第十章 B样条曲线曲面、Coons曲面和有理样条曲线曲面 10.1 B样条曲线曲面 分段多项式曲线 Bézier曲线的自然推广是分段多项式曲线，其特点是每个基函数有影响的区域是有限的。早在20世纪40年代人们就发现了多项式样条曲线，但直到60年代末，由于CAD技术的发展和计算机图形学的兴起，人们才逐步了解到它的重要性，并得到深入的研究和广泛的应用。 10.1.1 B样条基函数的定义和性质 给定参数t轴上的一个分割ti(ti≤ti+1，i=0，±1，±2…)。由下列递推关系所定义的Bi，k(t)称为T的k阶(或k-1次）B样条基函数。并约定0/0＝0。 (8) 造型的灵活性 在设计曲线时，有时希望在曲线某一点处形成角点，或将某一段变成一直线段，或要求曲线与某一直线相切。B样条曲线提供了实现这些要求的手段。灵活地选择控制点的位置和节点 的重数，可形成许多特殊形状，以满足设计的要求。例如B样条曲线 一般不经过 和 两点，如果要使曲线经过 和 两点，只需定义 和 即可。 (9) 导数曲线 由B样条基函数的导数公式,得到B样条曲线的导数曲线为 它是一条k-1阶(或k-2次)B样条曲线。 (1)端点位置矢量 即曲线的起点位于 中线 的1/3处，终点位于 中线 的1/3处。 (3)端点处二阶导数矢量 第十章 B样条曲线曲面、Coons曲面和有理样条曲线曲面 10.2 Coons曲面 第十章 B样条曲线曲面、Coons曲面和有理样条曲线曲面 10.3双三次Bézier曲面、 B样条曲面和Coons曲面的互化 第十章 B样条曲线曲面、Coons曲面和有理样条曲线曲面 10.4 有理Bézier曲线曲面 10.4.2 有理Bézier曲线 称下列参数曲线 0≤t≤1 (10.21) 为以 为控制多边形，以 为权的n次有理Bézier曲线。为使分母不为零，一般要求权 。 当各 的值都相等时， 的分母为常数，这时 退化为以 为控制多边形的n次Bézier曲线。 若f(t),g(t)都是多项式，则称f(t)/g(t)为有理多项式，它的次数为f(t)和g(t)次数中较大的一个。若e(t),f(t),g(t),h(t)是多项式，称如下形式的参数曲线为有理多项式曲线 当 时， 就退化为多项式曲线。 10.4.1 有理曲线 (10.20) P(t) Pj 图10.6 三次B样条曲线 Pj-2 Pj-1 Pj-3 N M 如图10.6所示，由式 定义的 三次B样条曲线有如下性质 曲线在始点处的切矢量平行于 的边 ，其模长是该边长的1/2；终点处的切矢量平行于 的边 ，其模长是该边长的1/2。因此，对三次B样条曲线上相邻两段曲线，前一段曲线的终点就是后一段曲线的起点，并且对应共同的三角形，所以，两段曲线在连接点处具有相同的一阶导数矢量。 (2)端点切矢量 即曲线在端点处的二阶导数矢量平行于相邻两直线边所形成平行四边形的对角线。由于三次B样条曲线上一段曲线终点处的平行四边形和下一段曲线在始点处的平行四边形相同，故三次B样条曲线在节点处有二阶导数连续。 若 ， ， 三点共线，均匀三次B样条曲线将产生拐点，拐点在s=0处 若 ， ， ， 四点共线，则 变成一条直线段； 若 ， ， 三点重合，则 过点 ，巧妙地利用三次B样条中的顶点重合会产生所需要的多种曲线。 i P 1 + i P 2 + i P 3 + i P ) ( t P (a)四顶点共线 i P 1 + i P 2 + i P 3 + i P 4 + i P 三重顶点 二重顶点 (b)二重顶点和三重顶点 1 - i P i P 1 + i P 2 + i P 3 + i P (d)三顶点共线 i P 1 + i P 2 +