11.10.26第九章 立体几何基础知识.docVIP

第九章 直线、平面、简单几何体 一．空间直线平面： 1.公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面 内.这时我们称直线在平面内，我们又称平面经过直线。 2.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们一定还有其他公共点，这些公共点的集合 是一条直线.如果两个平面有公共点，则称两个平面相交. 3.公理3：经过不共线的三点有且仅有一个平面.（或称为不共线的三点确定一个平面） 4.推论1：经过直线和直线外一点，有且仅有一个平面. 5.推论2：经过两条相交直线有且仅有一个平面. 6.推论3：经过两条平行直线有且仅有一个平面. 7.公理4: 平行于同一直线的两条直线互相平行.这个公理又叫做空间直线平行的传递性. 8.（等角）定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，并且方向相同，那么这 两个角相等.若去掉方向相同这一条件，则结论变为相等或互补. 9.异面直线的概念：不同在任何一个的两条直线叫做异面直线. 10.(异面直线的判定)定理：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直 线是异面直线. 11.异面直线的夹角：已知两条异面直线，在空间中任取一点，过作直线 ，我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）.特 别，当两条异面直线所成的角是直角时，我们称这两条直线互相垂直,记作.异面 直线的夹角的范围是 12.直线与平面平行的概念：一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线和这个平面互 相平行.直线与平面互相平行，记为. 13.直线与平面的位置关系有相交、平行或直线在平面内三种. 14.直线与平面平行的判定定理：如果平面外（或称不在平面内）的一条直线和平面内的 一条直线互相平行，那么这条直线和这个平面平行.（简称为“线线平行线面平行”） 即． 15.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即“线面平行线线平行”. 数学语言表达为 16.平面与平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行，这两个平面叫做平行平面.平面平行于平面，记作. 17.平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.即：“线面平行面面平行”. 18.推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行. 19.平面平行的性质定理： （1）如果两个平行平面与第三个平面相交，那么它们的交线平行.数学语言表达为 ； （2）如果两个平面互相平行，则一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 20.平面平行的传递性：平行于同一平面的两个平面 互相平行 ，即. 21.直线与平面垂直的概念：一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与平 面互相垂直.直线叫做该平面的垂线，平面叫做该直线的垂面，交点叫做垂足. 22.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直 线和这个平面垂直. 23.过空间一点与已知平面垂直的直线只有一条. 24.两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条直线与这个平面垂直. 25.若两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线互相平行. 26.（正）射影：自一点向平面引垂线，垂足叫做点在平面内的正射影，简 称射影.图形上所有点在一平面内的射影构成的图形叫做图形在平面内的射影. 27.斜线：如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足.斜线上一点到斜足之间的线段叫做斜线段. 28.三垂线定理: 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内 的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 29.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直. 30.已知点是所在平面外的一点，点在平面内的射影是. （1）若，则点是的 外心； （2）若，则点是的垂心； （3）若到三边的距离相等，且在的内部，则点是的内心； （4）若两两垂直，则点是的垂心. 31.如果一个角所在平面外一点与角的顶点的连线与角的两边所成的角相等，则该直线在平面内的射影是这个角的平分线. 二．空间向量： 32.共线向量的概念及判定：空间中，表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，我们就称这些向量是共线向量或平行向量，记作. 33.共线向量定理：对于空间中的任意两个向量，的充要条件是存在唯一实数使得. 34.共线向量定理的推论：如果直线经过点且平行于已知非零向量那么对于空间中的任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数使得①（即）叫做直线的方向向量.在上取，则①可以化为或② 特别，当时，是线段的中点坐标公式