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第七届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校：西北工业大学 满分：120 分 时间：3 小时 一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分) 一半球形高脚玻璃杯，半径 r =5cm ，其质量 m =0.3 kg ，杯底座半径 R =5 cm ， 1 厚度不计，杯脚高度 h =10 cm 。如果有一个质量m2 0.1kg 的光滑小球自杯子的 边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平 面之间的静摩擦因数f s = 0.5 。试分析小球在运动过程中：（1）高脚玻璃杯会不会 滑动；（2 ）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。 二、杂耍圆环(40 分) 1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚 动，随后不离开地面向前滚动，为什么？ 2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自 动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心 O 点的速度大小为v0 ，圆 环的角速度为ω ，圆环半径为r ，质量为m ，圆环与地面间的静摩擦因数为f ， 0 s 不计滚动摩阻，试问： （1）圆环能自己滚回来的条件是什么？ （2 ）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过 的距离是多少？ （3 ）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为 v1，圆环 r 平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为 h(h ) 的无弹性台阶后， 能不 2 脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。 3.演员又用细铁棍推动题 2 中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环 保持在铅垂平面内滚动，如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为 f t ， 圆环与地面间的滚动摩阻系数为 δ 。试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用 力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。 三、趣味单杠(30 分) 单杠运动是奥运会、世界体操锦标赛、世界杯体操比赛中男子体操比赛 项目之一。单杠是体操比赛中最具观赏性的项目，也是观众最喜欢的运动，在 学校和健身场所拥有众多的爱好者，小李和小张就是其中之一。一天，他们准 备在单杠上进行大回环比赛。假设单杠的横杆和立柱均为直径 D=28mm 的钢杆， 弹性模量 E=200GPa ，许用应力[σ]=160MPa ，横杆长L=2.4m，立柱高H=2.6m 。 立柱与地面、横杆与立柱之间均为固定联结。假设两人旋转到单杠所在平面内时 的惯性载荷均为F=1000N ，不计人的自重。 1. 试分析两人同步旋转到单杠所在平面内时，结构中的最大应力。 2. 若两人相差 180°旋转到单杠所在平面内，对结构中的最大应力有什么影响。 3. 为提高结构承载能力，有人提出在单杠距地面 0.6m 处增加一个直径 20mm 的拉杆。试定性分析该杆对上述两种情况的影响。 四、跳板跳水(30 分) 举世瞩目的第 29 届北京奥林匹克运动会上，具有“梦之队”之称的中国跳 水队获得了跳水比赛 8 枚金牌中的7 枚，囊括了 3m 跳板跳水的4 枚金牌。Duraflex 的 Maxiflex Model B 跳水板是奥林匹克跳水比赛和国际级跳水比赛唯一指定使 用的产品，它的具体尺寸如图所示，其中横截面尺寸为b 0.5m，h 0.05m，跳 板的弹性模量E 70GPa ，比重γ 25kN/m3 ，a 3.2m ，l 1.6m 。运动员从跳 板上上跃至距地面最高