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第三章 表象和表象变换 3） 一维谐振子能量算符的能量表象： 二、算符的狄拉克符号表示 算符运算的狄拉克符号表示 F表象中 算符在F表象中的狄拉克符号表示 不涉及表象 其中： 已知某系统哈密顿算符的矩阵表示为： 求：当前所在表象？ 状态中能量的可能取值和相应几率。 §3.4 量子力学公式的矩阵表示 一、力学量的平均值公式 1. 函数形式 2. 矩阵形式 （F表象中） 3. 狄拉克符号形式 F表象中 不涉及表象 二、本征值方程 1. 函数形式 2. 矩阵形式（F表象中） 以上线性齐次方程有不全为零解的条件： 关于 的 次方程 —— 本征值 —— 久期方程 将本征值分别代回本征值方程（线性齐次方程组） 求得与本征值相对应的本征函数。 …… 例：已知算符 在能量表象中的矩阵为 其中b为实数，体系波函数为 ，求测量 的可能值和相应的几率。 思路： 1）本征值方程 本征值、本征函数 2）将体系波函数用本征函数展开 展开系数 3） 本征值 可能测量值 展开系数 几率 1）解算符本征值方程 力学量的可能取值为本征值 各个可能取值的概率为 2）将体系波函数用算符的本征函数组 展开 三、薛定谔方程 1. 函数形式 2. 矩阵形式 3. 狄拉克符号形式 §3.5　坐标表象和动量表象 问题：这两个表象有什么特点？ 1）本征值构成连续谱 2）一般用函数（连续矩阵）表示状态和力学量 一、坐标表象 1）基函数 或 2）基函数组的正交归一性 或 3）基函数组的完备性 所以，坐标表象中的状态，力学量算符都保持最常见的函数形式。 5）力学量 或 4）任意状态 或 对于坐标表象，状态 有三个特征： a.是空间坐标 的函数； b. 表示粒子在空间分布的几率； c.任意波函数都可用坐标的本征函数展开， 展开系数即波函数在坐标表象中的形式 。 二、动量表象 1）基函数 2）基函数组的正交归一性 3）基函数组的完备性 3）任意状态 4）算符 所以，动量表象中的状态只要对坐标表象中的状态作傅立叶变换，力学量算符只要对坐标表象中的力学量算符作变量代换 对于动量表象，波函数 有三个特征： a.是动量 的函数； b. 表示粒子的动量分布的几率； c.任意波函数都可用动量的本征函数展开， 展开系数即波函数在动量表象中的形式 。 ［例3.2］求坐标算符的本征函数在动量表象 中的表示(以一维运动为例)。 ［解］可以用两种方法求解 解法一：由动量表象的特征(3),将坐标本征函数用 动量本征函数展开 即坐标本征函数的动量表象。 解法二：在动量表象中，解 的本征值方程。 待求 本征值方程： 由归一化条件 §3.6 能量表象 1、本征值分立，构成分立谱； 能量表象（除坐标、动量外的其他力学量表象）的特征： 2、状态和力学量用矩阵表示。 2）基函数组的正交归一性 1）基函数 3）基函数组的完备性 3）任意状态 4）力学量算符 其中 其中 能量表象中，波函数 的特征 a.自变量是 b. 表示系统存在于能量为 态中的几率 c.任意波函数都可以用能量本征函数展开， 展开系数即波函数在能量表象中的表示 。 例题：已知体系能量的可能值只有三个 ，出现概率分别为 ， 且能量不简并，试写出能量表象下的基函数组， 体系的哈密顿量以及t时刻体系所处状态。 1、基函数组： 解答： 2、哈密顿量： 3、零时刻的状态： 4、t时刻的状态： * * （矩阵力学） 海森堡 （Werner Heisenberg，1901年－1976年），德国著名物理学家，量子力学的创立人。他于20世纪20年代创立的量子力学，可用于研究电子、质子、中子以及原子和分子内部的其它粒子的运动，从而引发了物理界的巨大变化，开辟了20世纪物理时代的新纪元。为此，1932年，他获得诺贝尔物理奖。 一、矩阵的定义 1. 两个矩阵相等 2.两个矩阵的和 3.常数和矩阵的乘积 §3.1 δ函数· 矩阵基本知识 4.两个矩阵的乘积 条件：前面一个矩阵的列数＝后面一个矩阵的行数 5.行矩阵和列矩阵 列矩阵 6. 方阵 ——行数＝列数的矩阵 行矩阵 二、矩阵的运算规律 1.满足加法和乘法的结合律，分配律 2.满足加法的交换律 3. 不一定满足乘法的交换律 某些特殊情况 三、特殊矩阵 1. 复共轭矩阵 2. 转置矩阵 3.共厄矩阵 4.厄密矩阵 满足 条件的矩阵 5. 对角矩阵 6.