傅里叶变换的应用.PDF

傅里叶变换的应用 胡昕彤，姜镇涛，李静远，倪⽂凡，查玥，朱梓煖 傅⽴叶变换不仅是⼀个⾮常重要的积分变换，⽽且是⼀种重要的数学⽅法。在数学领 域的许多分⽀，傅⾥叶变换都起着⾮常重要的应⽤，如偏微分⽅程、概率、复变函数与数 学分析。傅⾥叶变换在其他各领域也有着⼴泛的应⽤，本⽂分析了傅⾥叶变化在信号处理、 ⾳响技术、图形设计、电⼒系统和⽕灾分析中的应⽤。 傅里叶变换和信号处理 周期信号的傅里叶级数分析 三角形式的傅里叶级数 三角形式展开式 ∞ x(t) = a + (a kω t + b kω t) 0 k 1 k 1 k=1 其中， a = 1 x(t)dt, a = 2 x(t) kω tdt (k = 1, 2, ...) 0 k 1 T T T T b = 2 x(t) kω tdt k 1 T t 2 2 −bk ak bk 令：c = a c = |a − jb | = a + b ϕ = ϕ = ϕ = − 0 0 k k k k k k ak k ck k ck ∞ ak bk x(t) = a + c kω t + kω t 0 k 1 1 bk ck k=1 ∞ = c + c (kω t + ϕ ) 0 k 1 k k=1 三角形式展开式系数的性质 性质⼀ a−k = ak bk = b−k 傅⾥叶变换的应⽤ 胡昕彤，姜镇涛，李静远，倪⽂凡，查玥，朱梓煖 性质⼆ c−k = ck ϕ−k = ϕk 性质三 若信号为偶函数，则：bk = 0 (k = 1, 2, ...) 性质四 若信号为奇函数，则：a0 = 0, ak = 0 (k = 1, 2, ...) 性质五 若信号为奇谐函数则只含有奇次谐波分量，⽽⽆直流分量和偶次谐波分量。 性质六 若信号为偶谐函数则只含有偶次谐波分量 可能还有直流分量 偶谐函数 奇谐函数 T