数学概念之间需要融会贯通_评_图形与几何_中一些概念的表述_张奠宙.pdfVIP

评 论 与 数学概念之间需要融会贯通 建 议 ———评“图形与几何”中一些概念的表述 ◇张奠宙 21 世纪以来的中国小学数学， 几何的分量有所增 绎地证明以“线与角”构成的命题和定理；到高中的几何 加。 目前各版本教材涉及的内容有： 学，就要研究空间中的“线与角”，而且要使用代数化的 ●直观几何。 包括认识图形这样比较传统的内容。 “线与角”，那就是向量几何了。 ●度量几何。 线段的长度，角度，面积，体积。 ●坐标几何。 数直线，位置，方向。 ●演绎几何。 平行与垂直，三角形内角和。 ●运动几何。 平移，旋转，轴对称。 这样一来， 小学数学的几何内容已经相当宽泛，给 人以“麻雀虽小，五脏俱全”的感觉。 但是，这些概念如何 有机地联接在一起，使得彼此融会贯通呢？ 我们似乎做 得还不够。 美国2000 年的NCTM 数学课程标准里，强调 “联接（connection ）能力” 的培养，值得借鉴。 下面就现行 小学数学教材里的若干问题做一些探讨。 一 古希腊几何是“线几何”，中国古代数学是“矩几何”[1] 我们先来宏观地考察一下古希腊数学和中国古代 数学的差异。 图1 古希腊和中国古代的几何学，都是从土地测量开始 的。 古希腊人用“绳”测量，抽象之后形成直线，用点和直 图1 线在平面上构造了“线几何”。 中国古代数学家则用“矩” 二 线段与直线的关系 进行测量，于是形成了“矩几何”。 从《周髀算经》开始的 中国几何学，由直角的矩作出正方形、矩形，借助面积的 在欧氏几何中，直线是不定义的原始概念。 割补和代数的计算，很快就证明了勾股定理，并由此得 一个不容回避的概念联接是直线与线段的关系。 我 到了一系列有用的相关结论。 但是，中国古代数学除直 们将线段向两端无限延长之后称之为直线。 但是，无限 角之外，没有“角”的一般概念，这是一个重大的缺陷。 因 过程是人的经验所不能达到的，人们能够感知的只是有 此，我们需要学习古希腊的几何学。 限的“线段”。 这就是说，直线是小学数学里遇到的一个 古希腊的 “线几何”， 从不定义的原始概念直线开 超经验的概念。 始，截取其有限的一段称为线段，然后用两条直线或线 A 版教材是先有不加定义的直线，然后说，截取直 段构成角，由此再形成各种几何图形。 更进一步的是度 线上两点之间的一段称为线段。 这样做比较抽象，但符 量，给线段以长度，给角以角度，进行量化计算。 有了长 合欧氏几何的原意。 度和角度，“线几何”的基础也就建立起来了。 我们知道， B 版教材则是先有线段，然后将其两端延长成为直 这两种基本量的统一体就是向量。 向量是现代数学的基 线。 如图 1 所示。 这样做从儿童看得到的“线段”开始，比 础。 较贴近儿童的经验。 但