数学冲刺班(线性代数2011)(殷)(学生版).pdfVIP

数学冲刺班（串 1，线代代数部分）讲稿（2011.12.10 ）（殷） 一、 线性代数复习概论 线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系 是线性代数课程的特点。技巧少，方法比较固定。 1、吃透概念，掌握性质 线性代数的概念很多，重要的有： 代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、 向量组、二次型) ，等价(矩阵、向量组) ，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极 大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对 角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 2 正确熟练运用基本方法及基本运算 基本运算与基本方法要过关，重要的有： 行列式(数字型、字母型) 的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求向量组的秩与极大线性无关组， 线性相关的判定或求参数，求基础解系，求（非）齐次线性方程组的通解，求特征值与特 征向量(定义法) ，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正 交变换化二次型为标准形) 。 3 ．注重知识点的转换与联系 线性代数各章节的内容，如行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不 是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如 A 是 n 阶方阵，若，| A |≠0 (称 A 为非奇异阵) ．=A 是可逆阵．=存在 n 阶方阵 B ， * −1 A 使得AB BA E ．= B A ．= r ( A) n (称 A 是满秩阵) ．=存在若干个 | A | 初等阵P ,P ,L,P 使得PP LP A =A 的列（行）向量组线性无关．= Ax 0 有 1 2 n 1 2 n 唯一零解．=对任意的列向量 b ，方程组AX ＝b 有唯一解，且唯一解为A−1b =任何 n 维列向量 b 均可由 A 的列向量线性表出(且表出法唯一)=A 没有零特征值，即λ ≠0 ，i i ＝1，2 ，…，n ．=A 是正定阵(正交阵) 等等。 如方程组A x b 有解，其中A (α ,α , L,α ) （从方程组角度） （从 m×n 1 2 n ⇔r ( A) r ( A b ) 矩阵角度）⇔b 可由向量组α ,α ,L,α 线性表示；（从向量组角度） 1 2 n 又如设两个向量组 Ⅰ）α ,α ,L,α 及（Ⅱ）β ,β ,L,β ，设向量组β ,β ,L,β 可 ( 1 2 s 1 2 t 1 2 t 由向量组α ,α ,L,α 线性表示 ⇔∃矩阵 C ，使得 B AC ，其中A (α ,α , L,α ) ， 1 2 s 1 2 s B (β , β , L, β ) ， 进 一 步 ， ⇒ r (β , β , L, β ) ≤r (α ,α , L,α ) ( 从 向 量 组 1 2 t 1 2 t 1 2 s 秩)⇔r (B) ≤r ( A) （从矩阵秩） 如矩阵的秩=行向量组的秩=列向量