二阶线性常系数微分方程方案.PDFVIP

二阶线性常系数微分方程 杨超 中山大学 hp://mail.sysu.edu.cn/home/yangch8@mail.sysu.edu.cn/calculus 本节主要讨论二阶线性常系数微分方程的求解： y + py + qy = f (x ) 一、齐次的 y + py + qy = 0 λx 考虑形如 的解。问题归结为求该微分方程的 e 特征方程 λ 2 + p λ + q = 0 的根，称为特征根。 λ ,λ （1）若有两个不同的实根 时，有 1 2 λ x λ x 1 2 e ,e 是方程的两个线性无关的解，因为朗斯基行列式 不等于0: λ x λ x 1 2 e e W(x ) = ≠ 0 λ x λ x λ e 1 λ e 2 1 2 此时，方程通解为： λ x λ x y (x ) = C e 1 + C e 2 1 2 λ （2 ）若特征根是二重根 。则 1 λ x 1 e 是方程一个解。而 λ x 1 xe 也是方程一个解。它们的Wronski行列式 λ x λ x 1 1 e xe W(x ) = λ x