第讲等腰三角形和直角三角形教师讲义.docVIP

八年级数学竞赛第四讲 等腰三角形和直角三角形 等腰三角形和直角三角形都是特殊的三角形，它们既具有一般三角形的性质，又具备 各自特有的性质，这些特性在几何证明中有着极为重要的应用价值，这些特殊性质包括： 等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在的直线是其对称轴. 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一. 等边三角形是更为特殊的等腰三角形，三边相等，三角相等，四心合一（内心、外 心、重心、垂心重合）. 直角三角形斜边上的中线将这个直角三角形分成两个等腰三角形(中线长等于斜边的一半). 勾股定理与逆定理及其推论. 中 斯特瓦尔特定理：中，是边上一点，则： （可用勾股定理证明）. 证明第一种情况： 从而有 例1. 已知等要三角形一边上的高等于这边的一半，求这个等腰三角形的顶角的度数. 例2. 已知平行四边形中， ， 求证：. 分析：本题要证的是平方式，可以考虑用 勾股定理. 证明：过C，D引直线AB的垂线，垂足分别 为E、F，易得△ADF≌△BCE. 所以 AF＝BE，DF＝CE. 在Rt△ACE中， 在Rt△DBF中， 所以 又在 Rt△ADF中， 所以 即. 本题是平行四边形的一个重要结论，即“平行四边形 两条对角线的平方和等于四边的平方 和”.利用此性质可求易知三边的三角形中线长. 例3. [第7届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试] 如图所示，在中， 垂足为，M是BC的中点， 求MD的长. 分析：只要取AB边上的中点，就可以将直角三角形 ABD斜边上的中线以及△ABC的中位线巧妙地连结起来. 评注：中点的利用通常有两种方法：一是中位线， 二是直角三角形，当一个点即使中位线的端点，又是 直角三角形斜边的中点时，就会有很好的性质. 例4. 如图，在中，AB＝AC，AD 是BC边上的高线，点P在内. 求证： 证明：作点P关于AD的 对称点F，连结AF，CF，并 延长CF交AP于E. 因为B与C，A与A关于AD 对称，所以∠APB与∠AFC关于 AD对称，所以∠APB＝∠AFC.因为∠AFC＞∠AEC， ∠AEC＞∠APC，所以∠AFC＞∠APC. 所以∠APB＞∠APC. 注：本题利用了等腰三角形的对称性. 例5. [2001年希望杯数学邀请赛初二试题] 已知：正方形ABCD的边长为1，正方形 EFGH内接于ABCD，, 且 　　求：的值.　 解：根据勾股定理 　a2+b2=EF2＝SEFGH＝ ① ∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH　　∴　2ab=　② －②得　（a-b）2=. ∴＝. 例6. 如图，正三角形ABC中，E，D分别是AC，BC上的点，且，AD，BE相交于P，于. 求证： 分析：欲证由于这两条边均在Rt△BPQ中，因此可考虑. 证明：在△ABE和△ACD中，，，， 所以△ABE≌△CAD，所以所以 所以.因为，所以，所以. 所以 习题（四） 如图1所示，在中， 求的度数. 分析：以AC为边向外作正， 连结DE，则，因为，所以 又 所以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（ＳＡＳ）． 所以ＥＤ＝ＡＣ， 所以 所以 所以． 方法二：在内取一点Ｏ，使为正三角形，连结 ＡＯ，证与全等． 2．P，Q分别在直角△ABC两直角 边AB，AC上，M为斜边中点， PM ⊥QM. 求证 ：. 分析：知， 问题的关键在于证明　 　．怎样将这三条线 段移在一起构成一个直角三角形呢？　 方法一：延长ＰＭ到Ｎ，使， 证明． 方法二：因为， 所以可以在内作射线MN，使得，并取 如图2所示，在钝角中， 的外交平分线 分别交对边延长线于点D,E, 且 则度. 答案：12. 如图3所示，在中， 为直角，， 分别以AB,AC为边向 外侧作正与正， DE与AB交于P. 求证：P为DE的中点. 分析：如图添加辅助线. 证明三角形全等. 5．[1997年全国初中联赛题] 如图4所示，设P为等腰直角三角形 ACB的斜边AB上任意一点，PE垂直 AC于点E，PF垂直BC于点F，PG 垂直于EF于点G，延长GP并在其延长 线上取一点D，使得 试证：且 分析：由于且为公共边，可证 △PBD≌△PBC，因此只需证明. 而，. 因此只需证明. 而，从而△PBD≌△PBC得证， 这样且. 证明斯特瓦尔特定理：中， 是边上一点，则： . 华罗庚的故事 1910年11月12日，华罗庚生于江苏省金坛县。他家境贫穷，决心努力学习。上中学时，在一次数学课上，老师给同学们出了一道著名的难题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”大家正在思考时，华罗庚站起来说：