第五章板壳理论.pptVIP

第五章 各项异性板 各向异性体的物理方程 各向异性的平面应力问题 各向异性的小挠度弯曲问题 小挠度弯曲问题的经典解法 变分法解小挠度弯曲问题 屈曲问题和振动问题 §5.1各向异性体的物理方程 各向同性体：如果所有各个方向的材料参数都相同，就称为各向同性体。 各向异性体：如果所有各个方向的材料参数都不完全相同，就称为各向异性体。 极端各向异性体：如果任意两个方向的材料参数都不完全相同，就称为极端各向异性体。 在极端各向异性体中，每个应力分量都将引起全部6个应变分量。物理方程将取如下的普遍形式： §5.1各向异性体的物理方程 有36个刚度系数Cij，但是由张量分析或实验测量，可以证明Cij= Cji。于是物理方程中只有21个独立的刚度系数。 如果材料存在对称面，则弹性常数将会减少。xy面是弹性对称面，垂直于xy面的z轴为弹性主向。由对称性可知，应力分量 都不会引起 和 ，因为上述四个应力分量是对称于xy面的，而上述应变分量是反对称于xy面的。所以物理方程简化为： §5.1各向异性体的物理方程 独立的刚度系数有13个。 正交各向异性体：如果弹性体具有三个相互正交的三个弹性对称面，也就是具有互相正交的三个弹性主向，则该弹性体称为正交各向异性体。 以三个弹性主向为坐标轴，物理方程得到进一步简化 §5.1各向异性体的物理方程 独立的刚度系数有9个。正应变只与正应力有关，剪应变只与相应的剪应力有关。 §5.2各向异性板的平面应力问题 薄板的平面应力问题：当薄板在边界上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 假设薄板的中面xy面是对称面，则整个薄板都有： 应力分量 只是x和y的函数。 平衡方程： 如果体力X和Y都是常数，则应力分量变为： §5.2各向异性板的平面应力问题 几何方程仍为： 上式消去位移分量，得到相容方程： 由于平面应力问题的 ，所以各向异性板平面应力问题的物理方程为： 把用应力函数表示的应力分量代入上式，再代入相容方程 §5.2各向异性板的平面应力问题 得到用应力函数表示的相容方程： 如果应力函数取为x和y的不超过3次幂的多项式，总可以满足相容方程，应力分量与刚度系数（弹性常数）无关，对应于应力边界问题，各向异性板的应力分量与各向同性板中完全相同。但是应变和位移不同。 如果应力函数中包含x和y的4次幂或4次幂以上的项，则应力分量与刚度系数（弹性常数）有关，与各向同性板中并不相同。 §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 即便是各向异性的薄板，只要它的中面是对称面，并且挠度远小于厚度，原来薄板小挠度弯曲理论的假设仍然可用，因此几何方程仍为： 但物理方程却不同，各向异性板小挠度弯曲问题的物理方程写为： 和平面应力问题的物理方程相同，利用几何方程和物理方程，得到用挠度表示的应力分量 §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 其中： §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 而： 将弯矩和扭矩用挠度表示为： §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 薄板平衡方程与材料参数没有关系，所以针对各向同性板导出的平衡方程也适用于各向异性板 把用挠度表示的弯矩及扭矩表达式代入上式得： 对于正交各向异性板，物理方程简化为： 应力分量为： §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 将几何方程代入得应力分量与挠度的关系： §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 用挠度表示的弯矩及扭矩表达式为： 其中： §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 代入薄板弯曲平衡方程得 其中： §5.4 小挠度弯曲问题的经典解法 在各向异性板中，只有正交各向异性板可以用经典方法求解。 四边简支矩形薄板，假定弹性主向和边界平行，取坐标轴如下图所示，边界条件方程为： 挠度表达式取为： §5.4 小挠度弯曲问题的经典解法 满足所有边界条件： 将横向载荷q展开成同一形式的双三角级数得到 其中 代入到正交各向异性板的小挠度弯曲微分方程： 再将方程两边 的系数进行对比，得到 §5.4 小挠度弯曲问题的经典解法 当 时，变为各向同性板的解答： §5.4 小挠度弯曲问题的经典解法 如果不是正交各向