矩阵对角化问题.pptVIP

目录 上页 下页 返回 结束 第五章 矩阵对角化问题 对 阶矩阵 ， 1. 方阵对角化的概念 寻找相似变换矩阵 ，使 这就称为把方阵 对角化. 说明 如果能找到可逆矩阵 ，使 ，则 可对角化； 如果找不到这样可逆矩阵 ，则 不可对角化. 2. 定理的引入 设有可逆矩阵 ，使 为对角阵. 下面 回答 能否由 确定. 这表明 的第 个列向量 是 的对应于特征值 的特征向量， 因而 由 和 确定， 也就是由 确定. 由于特征向量不是惟一的，所以矩阵 也不 是惟一确定的. 反过来， 是依次与之对应的特征向量，则 设矩阵 的 个特征值为 ， 当 可逆，即 线性无关时，有 这表明方阵 能否对角化完全可用 的特征值和 特征向量来刻画. 由定理证明可知,如果矩阵A相似于对角矩阵, 设 则矩阵P的列是A的线性无关的特征向量, 对角矩阵的对角元素是P中列向量对应的矩阵A的特征值. 若 则 的主对角元素即为 的特征值， 3. 方阵可对角化的充要条件 定理4 阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化) 的充要条件是 有 个线性无关的特征向量. 推论 若 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似.(逆命题不一定成立） 说明 当 的特征方程有重根时，不一定有 个线性无 关的特征向量，从而不一定能对角化； 但是，有重根时，也有可能能对角化. 所以 特征值互不相等只是 与对角阵相似的充分条件. 下述定理可将关于可对角化条件更精细地刻画出来. 定理: 设 是n阶方阵A的全部不同的特征值, 其重数分别为 则A可以对角化的充分必要 条件为对应 有 个线性无关的特征向量. 注: 对应于 的所有线性无关特征向量的基是 的基础解系. 个向量, 故n阶方阵A可对角化当且仅当对A的每一个 重 特征根 的基础解系恰有 当且仅当 例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解: 得 得基础解系 当 时，齐次线性方程组为 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。 得基础解系 所以 不能化为对角矩阵. 当 时，齐次线性方程组为 例 设 问 为何值时，矩阵能对角化？ 解: 析：此例是定理的应用. 定理表明： 阶矩阵 可对角化 有 个线性无关特征向量. 由此可推得另一个充要条件： 对 的每个不同的特征值 ， 的重数 =对应于 的线性无关特征向量的个数 所以的特征值为 1(二重)， . 对应于单根 ，可求得线性无关的特征向量1个； 对应于二重特征值 1，若 能对角化，则 要使 ，则 即 说明 解答此题的关键是将 取值条件“ 可对角化” 转化为“二重特征值 1 应满足 ”， 从而求得. 矩阵 能否对角化，取决于它的线性无关特征 向量的个数，而与 的秩， 的行列式都无关. 四.矩阵对角化的实现的步骤:若矩阵A可以对角化, (1)求出A的所有特征值 其重数分别为 (2)对每一个 , 求出 的基础解系 , 从而得对应 的 个线性无关的特征向量 (3)用(2)中求得的特征向量形成矩阵 则有 练习: 作 业 P134 2, 8(1,2), 9, 11, 12, 16 * 目录 上页 下页 返回 结束 *