数值分析第章 解线性方程组的直接方法.pptVIP

§1 引言与预备知识 §2 高斯消去法 §3 高斯主元素消去法 §4 矩阵的三角分解法 克劳特分解方法 设A为n×n阶非奇异矩阵, 且各阶主子矩阵为非奇异,则矩 阵A的克劳特(Crout)分解为 A=LU 其中 这样,L、U中的元素都已求出。计算L的各列与U的各行的次序如图所示 。 对方程组Ax=b的系数矩阵A作出LU分解后,方程组便化为 LUx=b 则求解上列方程组就化为依次解方程组 Ly=b Ux=y 由于L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵,故上述方程组的求解极为方便。他们的计算公式分别为 用克劳特分解求解线性方程组Ax=b的计算过程为: ① LU分解过程:对于k=1,2,…,n依次计算 例4 用克劳特分解方法求解下列方程组 利用矩阵乘法可得到 这样原方程组就化为依次求下列两个三角形方程组 §5 向量和矩阵的范数 §6 误差分析 图 解 令 代入第二个方程组可求得原方程组的解为 2、选主元直接三角分解法 从直接三角分解公式可看出当 时计算将中断，或者当 绝对值很小时，按分解公式计算可能引起舍入误差的累积。但如果当A非奇异，我们可以通过交换A的行实现矩阵PA的LU分解. 为了研究线性方程组的近似解的误差估计和迭代法的 收敛性, 我们需要对Rn中的向量(或Rnⅹn中的矩阵)的 大小引进某种度量——向量(或矩阵)的范数. 先考虑Rn中向量的长度, 然后可定义向量(或矩阵)的范数. 定义1 在Rn中，对 ?=(a1,a2, ?,an)T， ? =(b1,b2, ?,bn)T， 数量积: (?, ?)= ?T?= a1b1+a2b2+ ? +anbn. 欧氏范数: ||?||2 = (?, ?)1/2 . 在Cn中，(?, ?)= ?H?. (1) 正定性： 等号当且仅当 时成立； (2) 齐次性： (3) 三角不等式： 则称 为向量 的范数或模. 由(3)得 (4) 几种常用范数 (无穷范数) (1-范数) (2-范数) (p-范数) 可以验证它们都是范数. 易见前三种范数是p-范数的特殊情况 例6 计算向量 的几种常用范数 定义4(矩阵的范数) (1) 正定性： 等号当且仅当 时成立； (2) 齐次性： (3) 三角不等式： 则称 为 矩阵 的范数或模。 诱导出的常用范数有： 它们满足如下相容关系： 例7 计算矩阵 的几种常用范数 一、矩阵的条件数 考虑线性方程组 AX=b 系数矩阵A和右端b的小扰动所产生的相对误差. 例8 方程组 准确解为 常数项微小变化后 准确解 定义7 如果矩阵A或常数项b的微小变化,引起线性方程组AX=b的解的巨大变化,则称此方程组为病态方程组矩阵A称为病态矩阵,否则称方程组为良态方程组,矩阵A为良态矩阵. 条件数刻画了线性方程组AX=b的解对数据误差的灵敏程度，它只与此方程组的系数有关，反映了方程组固有的本性。故可用条件数来描述方程组的性态. 例9 求Hilbert矩阵H3的条件数. 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A?1，而由经验得出。 ? 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； ? 元素间相差大数量级，且无规则； ? 主元消去过程中出现小主元； ? 特征值相差大数量级。 如何发现判断矩阵是病态的? 如何解决和处理? 预处理方法，即将AX=b转化为等价的方程组 例10 设 则 化为 则 设 为线性方程组Ax=b的近似解，于是可计算 的剩余向量 ， 当 很小时， 是否为Ax=b一个较好的近似解呢？下面的定理给出了解答。 第5章 解线性方程组的直接方法 《数值分析》 第5章 解线性代数方程组的直接法 一、引言 线性方程组的来源 线性方程组的分类：直接法，迭代法。 线性方程组的两类解法： 1、直接法：就是经过有限步算数运算，可求得线性方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。低阶稠密的线性方程组用直接法(如高斯消去法和三角分解法)。 2、迭代法：就是用某种极限过程去逐步逼近线性