数值计算课后答案.docVIP

习 题 四 解 答 1、设，写出的一次插值多项式，并估计插值误差。 解：根据已知条件，有x 0 1 y 1 设插值函数为，由插值条件，建立线性方程组为 解之得则 所以，插值余项为 所以 。 2、给定函数表 -0.1 0.3 0.7 1.1 0.995 0.995 0.765 0.454 选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。 解：设三次插值多项式为，由插值条件，建立方程组为 即 解之得 则所求的三次多项式为。 所以 3、设是 n+1个互异节点证明； （2）。 证明： （1）由定理，x0,x1,x2,…xn为插值节点，对y=f(x)=xk作n次插值多项式为 而yi=xi, 所以 同时，插值余项 所以 对此函数取节点，则对应的插值多项式为 ， 由余项公式，得 所以 令t=x， 4、给定数据（） x 2.0 2.1 2.2 2.4 f(x) 1.414214 1.449138 1.48320 1.54919 (1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差； (2)试用二次Newton插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。 解：用线性插值计算f(2.3)，取插值节点为2.2和2.4，则相应的线性插值多项式是 用x=代入，得 x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 2.0 1.414214 0.3501 2.1 1.449138 -0.047 0.3407 4.1075 2.2 1.48320 1.596 0.6599 2.4 1.54919 根据定理2， f(x)＝f(x0)＋f[x0，x1](x-x0)+f[x0，x1，x2](x-x0)(x-x1)+… +f[x0，x1，…，xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn－1) +f[x0，x1，…，xn，x]π(x) 。 以表中的上方一斜行中的数为系数，得 f(2.15)＝1.41421＋0.3501 ×(2.15-2.0)－0.047 ×(2.15-2.0) ×(2.15-2.1) ＝1.663725 指出： 误差未讨论。 5、给定函数表 x 0 1 2 4 5 y 0 16 46 88 0 试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式和插值余项。 解：作差商表如下 x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 0 16 1 16 7 30 2 46 －3 21 4 88 －88 5 0 根据定理2，以表中的上方一斜行中的数为系数，得 。 指出： 余项未讨论。 5*、给定函数表 x 0 1 2 3 4 y 0 16 46 88 0 试求各阶差分，并求等距节点插值。 解：由已知条件，显然，x0=0，h=1，x=t。 作差分如下 x f(x) 一阶差分 二阶差分 三阶差分 四阶差分 0 0 16 1 16 14 30 －2 2 46 12 －140 42 －142 4 88 －130 －88 5 0 根据等距节点插值公式， 指出: 在本题这种情况下,实际上，也就是说,在这样的条件下,t的多项式就是x的多项式，可以直接转换。 一般情况下，把t的关系转换为x的关系需要根据x=x0+th，将t用x表示，即将代入得到的多项式。 6、给定数据表 x 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 f(x) 0.79618 0.77334 0.74371 0.70413 0.65632 0.60228 试用三次牛顿差分插值公式计算f(0.1581)及f(0.636)。 解：所给节点是等距结点： 。 计算差分得 x f(x) 一阶差分 二阶差分 三阶差分 四阶差分 五阶差分 0．125 0．79618 -0.02284 0．250 0．77334 -0.00679 -0.02963 -0.00316 0．375 0．74371 -0.00995 0.00488 -0.03958 0.00172 -0.00460 0．500 0．70413 -0.00823 0.00028 -0.04781 0.00200 0．625 0．65632 -0.00623 -0.05404 0．750 0．60228 令,根据等距结点插值公式，得 则 。 7、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且 (1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x