Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用.docVIP

本科毕业论文 题目： Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用 学院： 班级： 姓名： 指导教师： 职称： 完成日期： 年 月 日 Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用 摘要：Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,该定理阐述了在预先给定的精度下,可以用多项式逼近任意给定的闭区间上的连续函数.本文第一部分用Bernstein多项式证明了Weierstrass逼近定理,从而很直观地说明了中的函可被函数多项式一致逼近Bernstein定理；切比雪夫多项式； 测度收敛 目录 1 Weierstrass逼近定理及其证明 ……………………………………………………(3) 1.1 Weierstrass逼近定理的第一种证明 …………………………………………(3) 1.1.1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明…………………………………(3) 1.1.2 闭区间上的weierstrass逼近定理…………………………………(5) 1.2 Weierstrass逼近定理的第二种证明 …………………………………………(6) 2 Weierstrass逼近定理的推广 ………………………………………………………(8) 2.1 Weierstrass第二定理 …………………………………………………………(8) 2.2 Weierstrass-Stone定理 ………………………………………………………(9) 2.3 复函数情形下的Weierstrass逼近定理………………………………………(9) 2.4 非连续函数的情形…………………………………………………………… (10) 3 Weierstrass逼近定理的应用………………………………………………………(11) 3.1 复合函数的测度收敛定理 ……………………………………………………(11) 3.2 Weierstrass逼近定理的逆定理 …………………………………………… (11) 在一致逼近的理论中,遇到的第一个问题是:在预先给定的精度下,能否用多项式逼近任意给定的连续函数?1985年,weierstrass对这个问题给出了肯定回答: Weierstrass逼近定理 设 ,则存在多项式,使. 1 Weierstrass逼近定理的证明 1.1 Weierstrass逼近定理的第一种证明 1.1.1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 对于这个著名的定理,至今有多种不同的证明方法.下面将给出Bernstein的证明,其精度虽不是最好的,但非常精彩. 定义1 设,的第)个Bernstein多项式由下式给出: . 显见. 引理1 下列恒等式成立: (1), (2), (3). 引理2 对任意给定的＞0 及,有 , 其中求和号表示对固定的满足不等式的求和. 该引理的意义在于当很大时,在和式中,起主要作用的只是满足条件的那些值所对应的项的和,而其余的项对和的值无多大影响. 证 我们从(1)知, 因此两边同时乘以有 . 对任意,我们有 +. 由于在处连续,对任给,存在,使得 当时,, 故第一个和式 . 又由在上连续,所以存在0,使得 . 故由引理2,第二个和 . 因此,对任何,先取,使得 当时， 然后固定,再取充分大,就有. 注意到我们在定理的证明中,对第一个和只用到在处连续,对第二个和只用到在上有界.因此有 Bernstein定理 ： 设在上有界,则在任何的连续点成立.如果,则极限在上一致成立. 注(1)若有界函数在点处存在有限的二阶导数, 则,其中. (2) 若在上有连续的导数,则一致收敛于. (3) 设,那么在上一致地成立. (4) 若,,那么，,. (5) 若在上是非减的,那么在上也是非减的. (6) 若在上是凸的,那么在上也是凸的. 由以上的推论可知,一个连续函数的Bernstein多项式逼近与被逼近函数的极值和高阶导数有关,并且单调的和凸的函数分别产生单调的和凸的逼近.总之,Bernstein多项式模拟被逼近函数的特性达到十分惊人的程度. 1.1.2 闭区间上的weierstrass逼近定理 设,则存在多项式,使得 . 证 令,则有. 因为,所以