修改线性系统的可控性和可观测性.pptVIP

9.2 线性系统的可控性和可观测性 动态系统的可控性和可观测性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。 可控性和可观性的概念是卡尔曼在1960年提出，成为现代控制理论中最重要的概念，是最优控制设计的基础。 系统可控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。 可观测性反映由能直接测量的输出量来确定系统内部状态的可能性。 这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。 因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。 此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。否则,就无从进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。 所以, 经典控制理论一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。 现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。 状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。 此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输出的信息来构造系统状态的问题。 一、 线性连续系统的可控性 本节首先从物理直观性来讨论状态可控的基本含义，然后再引出状态可控性的定义。 下面将看到，这种从直观到抽象的讨论，对于理解可控性严格定义的确切含义是有益的。 1. 可控性的直观讨论 状态可控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意非零初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响，并能在有限时间内控制到状态空间原点，那么称系统是可控的, 或者更确切地说，是状态可控的。 否则，就称系统为不完全可控的。 下面通过实例来说明可控性的意义 。 例题： 某电桥系统的模型如图1所示 。 由电路理论知识可知, 若图1所示的电桥系统是平衡的,电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的，即状态变量x2(t)是不可控的，则系统是不完全可控的。 由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)和x2(t)时，可得如下状态方程: 例题 某并联双水槽系统如图2所示，其截面积均为A，它们通过阀门O均匀地输入等量液体，即其流量QO相同。 当阀门1和2的开度不变时,设它们在平衡工作点邻域阀门阻力相等并可视为常数，记为R。 由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力(水面高度)的关系，有 由上述解可知，当初始状态x1(0)和x2(0)不等时，则x1(t)和x2(t)的状态轨迹完全不相同，即在有限时间内两条状态轨线不相交，即状态x1(t)和x2(t)总是相差一个固定的，不受u(t)控制的函数值。因此，x1(t)和x2(t) 不能在有限时间内同时被控制到状态空间原点，只能被控制在满足由状态方程解所规定的状态空间中的曲线上。所以，虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独可控的，但整个系统并不可控。 因此，对该系统，无论如何控制流入的流量?QO(t)，都不能使两水槽的液面高度的变化量?h1(t)和?h2(t)在有限时间内同时为零，即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义，可控性在系统状态空间模型上的反映可由如下例子说明。 例题: 给定系统的状态空间模型与结构图分别为 前面3个例子，可通过直观分析来讨论系统的状态可控性，但对维数更高、更复杂的系统，直观判断可控性是困难的。 下面将通过给出状态可控性的严格定义，来导出判定系统可控性的充要条件。 2. 状态可控性的定义 由状态方程 及状态方程求解公式可知, 状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入，与输出y(t)无关。 因此讨论状态可控性问题，即输入u(t)对状态x(t)能否控制的问题，只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方程的性质，与输出y(t)和输出方程无关。 对于线性连续系统，我们有如下状态可控性定义。 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都可控，则称系统在t0时刻状态完全可控；简称为系统可控。 说明: （1）控制时间[t0,t1]是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。 对时变系统，控制时间的长短，即t1-t0的值，与初始时刻t0有关。 对于定常系统，该控制时间与t0无关。 所以，对于线性定常系统，其可控性与初始时刻t0无关，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻t0有关 。 （2）在上述定义中，对输入u(t)没有加任何约束，只要能将非零初始状态在有限时间转移到状态空间原点，对状态轨迹不加限制。 （3）若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作 用，称状态xf是t0时刻可达的。对于线性定常连