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第七节曲线的凹凸与拐点
曲线凹凸的定义
曲线凹凸的判定
曲线的拐点及其求法
1
一、曲线凹凸的定义 y C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o x
y y y f (x )
y f (x )
o x x o x x x
1 x 1 2
2
图形上任意弧段位 图形上任意弧段位
于所张弦的下方 于所张弦的上方
2
设 在 内连续 如果对 内任意
定义 f (x ) (a,b) , (a,b)
x +x f (x ) +f (x )
两点x , x , 恒有 f ( 1 2 ) 1 2 ,
1 2
2 2
那末称 ( )在( , )内的图形是凹的 ;
f x a b
如果对 ( , )内任意两点 , , 恒有
a b x x
1 2
x 1 +x 2 f (x 1 ) + f (x 2 )
f ( ) ,
2 2
那末称 f (x )在(a , b)内的图形是凸的 ;
如果f (x )在[a ,b]内连续, 且在 (a ,b) 内的图形是凹
(或凸)的,那末称 f (x )在[a ,b] 内的图形是凹 (或凸)的;
3
二、曲线凹凸的判定
y f (x) B
y y f (x) B y
A
A
o a b x o a b x
f ′(x ) 递增 y ′′
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