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第四节 一、 函数连续性的定义 对自变量的增量 例. 证明函数 二、 函数的间断点 间断点分类: 例如: 练习 3. 确定函数 间断点的类型. 三、连续函数的运算法则 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 例如, 例1 . 初等函数的连续性 例2. 求 例4. 求 例5. 设 1. 最值定理 推论. 定理3. ( 介值定理 ) 例1. 证明方程 例2. 设 内容小结 * 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续 第一章 四、闭区间上连续函数的性质 三、连续函数的运算法则 可见 , 函数 在点 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 左连续、右连续、开区间内连续 continue 若 在区间(a , b )内连续, 且在 a 点右连续, b点左 则称它在[a , b ]上连续, 连续, 或称它为区间[a , b]上的 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 都有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数 . 有函数的增量 左连续 右连续 当 时, 有 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设 时, 提示: f (x)为 连续函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 解: 间断点 为无穷间断点; 故 为跳跃间断点. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上连续单调递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, 下页 返回 结束 定理3. 设函数 当 x→x0 时的极限存在且为a, 即 函数 y = f (u) 在点 u = a 连续, 则复合 当 x → x0 时的极限也存在且等于 f (a), 说明: ( ) 即 函数 1. 可以写成下面两种形式: 说明在定理条件下, 作代换 说明在定理条件下, 极限运算和函数运算可以交换次序. 2. 转化为求 可以将求 证: 设函数 于是 故复合函数 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例