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PAGE 77 lt99315三角測量 PAGE PAGE 24 lt99315三角測量 從古埃及的金字塔到今日的房屋、橋樑、隧道等建築工程﹐從精確地圖的繪製到天文上的觀測﹐「測量」一直與人類的生活息息相關﹐而三角學正是測量所倚重的基礎理論﹒本節將介紹如何應用三角函數來作測量﹒ 甲、三角測量 測量上有一些常用的名詞﹐例如：物體與地心的連線稱做鉛垂線﹐而和鉛垂線垂直的線都稱為水平線﹐觀測高處或低處目標時﹐視線與水平線所形成的夾角﹐分別稱作仰角和俯角﹐如圖2所示﹒ ▲圖2 另外﹐地理上常用方位來描述物體所在的位置或方向﹒除了東南西北四個主要方位之外﹐其他描述法如圖3所示： P點位於O點的北30?東（或東60?北）方位﹒ Q點位於O點的北75?西（或西15?北）方位﹒ R點位於O點的南45?東（或東南）方位﹒ ▲圖3 測量建築物高度是常見的測量問題﹐我們來看生活中一些測量的例子﹒ 【例題1】小華欲測量台北101大樓的高度﹐先在地面上A點測得樓頂的仰角為﹐再朝大樓方向前進370公尺到達B點﹐測得樓頂的仰角為﹐求大樓高度﹒ Ans：公尺 【詳解】如圖所示﹐設樓高公尺﹐在中﹐﹐所以﹐在中﹐﹐所以﹐因為﹐即﹐得﹐故101大樓高度為公尺（約505公尺）﹒ 【隨堂練習1】想測量某風景區中一大佛的高度﹐首先在與佛頂部仰角恰為60?的地面A 點處做上記號﹐面對著佛像後退到仰角恰為30?的B點﹐然後測得A 點和B點的距離為20公尺 Ans：公尺 【詳解】作圖如右﹐設佛像高度公尺﹐則﹐﹒因此﹐﹐因為﹐即﹐得﹐故佛像高度為公尺（約公尺） 【例題2】如圖所示﹐小華站在頂樓陽台上測量地面的一棵大樹﹐得樹底的俯角為60?﹐樹頂的俯角為30?﹐若小華眼睛至地面的距離為21公尺﹐則(1) 大樹和小華家距離多少公尺？(2) 樹高約為多少公尺？ Ans：(1) 公尺，(2) 14公尺 【詳解】 (1) 作圖如右﹒中﹐?BAC = 60?﹐=21﹐因為﹐所以﹐故大樹和小華家距離公尺﹒ (2) 中﹐因為?BDE=30?﹐﹐﹐得=?=7﹐所以=21?7=14﹐即樹高14公尺﹒ 【隨堂練習2】小君所住的公寓對面蓋起一座新的大廈﹐從公寓窗口觀測其高度﹐大廈屋頂的仰角為?﹐大廈最底部的俯角為?﹒若公寓和大廈相隔著8公尺寬的馬路﹐則大廈應有多高？（以?﹐? Ans：公尺 【詳解】如圖﹐依題意知﹐因此﹐﹐故大廈公尺﹒ 我們再看看下面的例子﹒ 【例題3】根據氣象局發布的颱風消息﹐颱風中心目前在恆春東南方300公里的海面上﹐向著東75?北的方向前進﹐暴風半徑250公里﹒如果颱風的行進方向不變﹐ (1) 颱風中心與恆春的最近距離是多少公里？（已知﹐四捨五入求至整數位） (2) 恆春是否會進入暴風圈？ Ans：(1) 260公里，(2) 恆春將不會進入暴風圈 【詳解】 (1) 作圖如下﹐直線L為颱風的行進方向﹐依題意﹐L與的夾角為60?﹒當颱風中心從點A移到點B（）﹐此時與恆春距離最近﹒因為=300﹐  所以颱風中心與恆春的最近距離約為260公里﹒ (2) 因為（暴風半徑）﹐所以恆春將不會進入暴風圈﹒ 【隨堂練習3】在由南向北時速90公里的汽車上﹐看到北45?東的方位有一座摩天輪﹐車子繼續行駛12分鐘後﹐摩天輪變成在北60?東的方位﹐若汽車繼續前行﹐則車與摩天輪最近的距離是多少公里？ Ans：公里 【詳解】如圖﹐（公里）﹒設車與摩天輪最近的距離公里﹐由和可得﹐﹐因為﹐所以.得車與摩天輪最近的距離是公里. 上述測量應用的範圍都僅限於直角三角形﹐而在處理一般三角形的測量問題上﹐就需利用正弦定理和餘弦定理了﹒ 【例題4】湖的兩端各有一座電塔A與B﹐因架設電纜需測出這兩座電塔的距離﹒今在C點成立觀測站﹐測得公尺﹐公尺﹐﹒試求電塔A與B的距離﹒ Ans：70公尺 【詳解】當知道一個三角形的「兩邊」及「夾角」時﹐可利用餘弦定理求第三邊﹒由題意﹐在中﹐ SHAPE \* MERGEFORMAT  = 4900﹒故電塔A與B的距離公尺﹒ 【隨堂練習4】山丘的兩端各有城市A與B﹐因開鑿馬路需測量出這兩座城市的距離﹐今在C點成立觀測站﹐測得=30公里﹐=50公里﹐﹒試求城市A與B的距離﹒ Ans：70公里 【詳解】利用餘弦定理﹐得﹒故兩城市與的距離公里﹒ 【例題5】自塔的正東方A點測得塔頂仰角為；而在塔的東南B點測得塔頂仰角為﹒已知A與B相距50公尺﹐求塔高﹒ Ans：50公尺 【詳解】如圖所示﹐設塔高為h公尺﹒在中﹐﹐在中﹐在△OAB中﹐已知與兩邊長及其夾角﹐利用餘弦定理﹐得﹐解得塔高公尺﹒ 【隨堂練習5】空中消防直升機發現：地面正