1 x §4 群的同态与同态基本定理一.PPTVIP

测验： 2.设?是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若ax?ax’则必有x ?x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 H={x|x?G,并且x?e} 对任意的x?H， x?e, xe?e=xx-1 对任意的x,y?H， x?e, y?e, ey?e, x-1xy?x-1x §4 群的同态与同态基本定理 一、群同态 设有两个代数系统[S;*]与[T;?], 如果存在到上映射?:S?T,使得对任意的a,b?S,有:?(a*b)=?(a)??(b)，称[S;*]与[T;?]两 个系统同态。如果?是双射,则[S;*]与 [T;?]同构。 例14.21(Cayley(凯莱)定理)：任一有限群必同构于一个同阶的置换群。 证明:设[G;?]为有限群. 若[G;?]是置换群, 则[G;?]与自己当然同构. 下面考虑[G;?]不是置换群,那么就应构造与[G;?]有一定联系的置换群,使得它们同构. 对任意g?G,定义映射?g:G?G,使得对任意g?G,有?g(g) =g?g。设?={?g|g?G} 则由例14.13知[?;?]是置换群。 下面证明G与[?;?]同构 构造G??的同构映射:?(g)=?g 二、群同态基本定理 1.同态核与同态象 在群G中，a,b?G,若ab=a，则b=e(单位元) ab=a=ae，由消去律可得b=e。 引理：[G;*]和[G‘;?]为群, ?为G?G’的同态映射(不一定满射),设e是[G;*]的单位元,则?(e)一定是[G;?]的单位元. 证明:因为?(G)??,设x??(G)?G, 存在a?G,使得x=?(a) 因为x??(e)=x=x?eG, 利用群满足消去律即得?(e)=eG. 该结论对不是群的代数系统不一定成立. 定义14.18: ?为群G?G的同态映射,e,e分别为G,G之单位元。集合K={x?G| ?(x)=e},称K为同态映射?的核,又称同态核, 记为Ker?, 简记为K(?)。 K??,这是因为?(e)=e,即e?K. 例:[R-{0};*]和[{-1,1};*]为群 定理：?为群[G;*]?[G;?]的同态映射,则 (1)[Ker?; *]为[G;*]的正规子群。 (2)?为一对一当且仅当K={eG} (3)[?(G); ?]为[G;?]的子群。 证明:(1)先证明Ker?是子群 封闭:对任意a,b?Ker?,有a*b??Ker?, 即证?(a*b)=?eG 逆元:对任意a?Ker?,它在G中的逆元,a-1?? Ker? 然后证明对任意g?G,a?Ker?有 g-1*a*g??Ker? 2.群同态基本定理 定理14.19：群[G;*]同态于它的任一商群[G/H;?]。 证明:构造映射f:G?G/H, f(g)=Hg 然后证明f是满同态映射. 自然同态 定理14.20：设?为群[G;*]到群[G;?]的同态映射,K为同态核, ?(G)?G为G在?下的象集,则:[G/K;?]?[?(G);?] 证明：对任意的Ka?G/K，定义 f(Ka)=?(a) (1)f是G/K??(G)的映射。 关键是对于Ka=Kb,是否有?(a)=?(b) (2)f是同态映射。 对任意的Ka,Kb?G/K,是否有 f(Ka?Kb)=f(Ka)?f(Kb) (3) f是一一对应映射。 一对一 :即证若有f(Ka)=f(Kb),必有Ka=Kb. 就是要证明a*b-1?K, 也就是?(a*b-1)=eG 满射: 推论：若?为群[G;*]到群[G;?]的满同态映射,则: [G/K;?]?[G;?] 例:[R;+]是实数加法群,[Z;+]是整数加法群,并且是[R;+]的正规子群。W={ei?|??R},*为普通乘法群，则[R/Z;?]?[W;*]。 分析:应先构造R?W的满同态映射? 然后证明Ker?=Z 定义?(x)=e2?ix Ker?={x|?(x)=1}=Z 作业:P295 40,41(1),(3),(5) 补充 1.?为群[G;*]?[G;?]的同态映射,则 [?(G); ?]为[G;?]的子群。 2.设?是群G到G的同态映射,证明: (1)若H是G的子群,则?(H)也是G的子群. (2)若H是G的正规子群,且?是满同态映射,则?(H)也是G的正规子群. * * *