4-4向量和向量与其他知识的综合问题中的应用2013.pptVIP

高考数学总复习 人教 A版 第四章　平 面 向 量 高考数学总复习 人教 A版 第4章 第四节 第 四节 向量的应用及向量与其它知识的综合问题 向量在代数中的应用 向量在几何中的应用 向量在解析几何中的应用 向量与三角函数交汇 * * 高考数学总复习 人教 A版 第四章　平 面 向 量 高考数学总复习 人教 A版 第4章 第四节 [答案]　A 重点难点 重点：了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题． 难点：(1)平面向量数量积的应用； (2)向量与其它知识的综合问题． 知识归纳 一、向量的应用 1．向量在几何中的应用 用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算性质、法则，推出所要求证的结论．要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件． (1)用向量法求角 设向量a与b的夹角为α，则cosα＝. 若a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，则cosα＝； (2)用向量法处理垂直 要证两线段ABCD，只需证·＝0. (3)用向量法处理平行 要证两线段ABCD，只需证存在实数λ≠0，使等式＝λ成立． (4)用向量法处理距离 要证线段AB＝CD，可转化为证明2＝2或||＝||. 2．向量在物理中的应用 用向量法处理物理问题，首先要把物理问题用向量模型加以表达，然后通过求解向量模型解释相关物理现象． (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法与减法相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)． 二、平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量的代数与几何双重身份必然成为知识的交汇点． 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 误区警示 1．用向量法证明平行时，应注意是否在同一条直线上，因为向量平行与直线平行是有区别的． 2．力和“向量”既有联系又有区别，力有作用点． 1．向量具有数的特性，常与函数、三角、数列、不等式等许多重要内容结合命题，而且我们也可通过构造向量来处理许多代数问题． 平面向量与几何问题的综合及应用通常涉及到长度、角度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理，目标是将几何问题符号化、数量化、坐标化，从而将推理转化为运算．向量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一起的，明确了几何意义使向量的代数形式的运算得以实施，而运算的结果则可以肯定或否定几何结论． 一般研究夹角问题总是从数量积入手，研究长度则从模的运算性质入手，而研究共线、共点问题则多从向量的加减运算及实数与向量的积着手． 2．用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 3．向量与解析几何 向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决． 4．向量与三角结合命题是主要命题方向，解决这类问题时，运用向量共线、垂直、夹角等条件去掉其向量外衣后，就是一个纯三角函数问题． 不论平面向量与哪种知识整合，向量大多都作为一种工具．提供某种条件，其解题思路一般都是利用向量平行与垂直的充要条件或数量积的性质、公式和运算律转化为代数问题． [例1]　求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 分析：联想到向量模的坐标表示式，可将与分别视作向量α＝(a，b)，β＝(c，d)的模，于是ac＋bd＝α·β，因此可以运用向量知识探求证明方法． 证明：设＝(a，b)，＝(c，d)． 当、至少有一个为零向量时，所证不等式成立； 当、均不是零向量时，设其夹角为α，则有cosα＝＝， |cosα|≤1， ≤1， 即(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 点评：待解决的代数、几何、三角、物理等问题，只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向量方法去试着解决． 本例中a2＋b2，c2＋d2与向量的模有联系，而ac＋bd与向量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示. [例2]　 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 分析：线段的长可视作向量的模，故求线段长度的问题，可