求最值问题的几种方法.docVIP

浅谈求最值问题的几种方法 摘要：最值问题综合性强, 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽,而且在解法上灵活多样, 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题, 也有一些小综合的中档题, 更有一些以难题的形式出现. 解决这类问题要掌握多方面的知识, 综合运用各种数学技巧, 灵活选择合理的解题方法, 本文就几类最值问题作一探求. 关键词：数学；函数；最值；最大值；最小值 1. 常见函数的最值问题. 1.1 一次函数的最大值与最小值. 一次函数在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的, 但是, 如果对自变量的取值范围有所限制时, 一次函数就可能有最大值和最小值了. 例1. 设 且 ≠1,,(0≤≤1),求的最大值与最小值. 解: 可化为：对项数两况讨论1）当1时-＞0,于是函数数随着,所以 当=0时,; 当=1时,y取最大值. （2）当0＜＜1时,,的函数值是随着的增加而减少的,所以 当=0时,取最大值; 当=1时,取最小值. 例2. 已知是非负实数,且满足条件 求的最大值和最小值. 分析： 题设条件给出两个方程,三个未知数，当然， 的具体数值是不能求出的.但是,我们固定其中一个，不防固定，那么都可以用来表示，于是便是的函数了（需注意的取值范围），从而我们根据已知条件，可求出的最大值与最小值. 1.2二次函数的最大值与最小值 一般地，求二次函数的最大值与最小值，都是根据二次函数的性质和图象来求解，即有：若0，则当= —时，有最小值为；若0，则当= —时，有最大值. 这里我们给出另一种求二次函数最值的方法——判别式法. 例3. 已知1, 2是方程 (是实数）的两个实数根，求的最大值与最小值. 分析：一般地,二次函数,若方程有实根,其判别式≥0.如果关于的不等式≥0,可以解出的取值范围，便可求出函数的最值，这就是求函数最值的判别式法. 解：由于二次方程有实根，所以 =≥0 解得 ≤≤ 则 由于在上是减函数,可见当时，=有最大值18，当时，=有最小值. 1.3三角函数的最大值与最小值 三角函数的最值问题题型广，涉及的知识面宽，而且在解法上灵活多变，能较好的体现数学思想方法的应用，因而一直是学习中的热点和重点. 例 4. 已知函数,设，当为何值时，y取得最小值. 解： , 即有 , 当时，取得最小值. 说明：求三角函数的最值时，方法很多，而在代数中求最值的方法均适用，如配方法（注意三角函数的取值范围），换元法（注意换元后的范围），判别法，重要不等式（注意取等号的条件）等等，这里不再赘述，只列举出几种常见的三角函数及最值的求法： （1）型，利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论. （2） 型，先引进辅助角化成，再利用有界性. （3） 型，配方后求二次函数的最值，须注意 的约束. （4） 型，反解出，化归为解决. (5) 型，化归为 利用三角函数的有界性求解，或用数形结合法 . (6) 型，常用到换元法，令，. 1.4 分式函数的最大值与最小值 求分式函数的最大值与最小值问题，常用到的办法是去分母后，化为关于的二次方程，然后用判别式≥0，得出的取值范围，进而求出的最大值和最小值. 例5. 求函数的最值. 解：去分母，整理得 当时，这是一个二次方程，因是实数，所以判别式≥0. 即 = 解得 当 当 由此即知, 当 时， 取最小值-4； 当 时， 取最大值1. 说明：本题求最值的方法叫判别法，是一种常用的方法，但在用判别法时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的值. 2. 一类无理函数的最值问题 无理函数的最值是高中数学教学的一个难点，其形式多样，解法繁杂，学生在解题时常感困惑，下面就研究一类形如 的无理函数最值的解法. 例6. 求函数的最