集合的概念及其表示.pptVIP

第一章 集 合 1. 集合的概念及其表示 2. 集合之间的关系 3. 集合的运算 4. 容斥原理 本章学习目标 通过本章的学习，应达到如下目标： 深入理解掌握集合的概念和不同的表示方法； 理解集合间的关系和特殊集合，包括幂集等； 熟练掌握集合的基本运算（交、并、补、差、对称差等）；理解集合运算的规律和主要证明方法； 了解集合的图形表示法，能够借助文氏图直观表示复杂的集合； 1.1 集合论(set theory) 十九世纪数学最伟大成就之一 集合论体系 朴素(naive)集合论 公理(axiomatic)集合论（蔡梅罗(Zermelo ) ) 创始人康托(Cantor) 什么是集合(set) 集合：是一种原始概念，不能精确定义。一些具有某种特点的对象的整体就构成集合，这些对象称为元素(element)或成员(member)。 用大写英文字母A,B,C,…表示集合 用小写英文字母a,b,c,…表示元素 a?A：表示a是A的元素，读作“a属于A” a?A：表示a不是A的元素，读作“a不属于A” 什么是集合(set)（续） 例 ： (1) 偶素数集合{2}, 称为单元集。 (2) 二进制的基数集合{0, 1}。 (3) 英文字母(大写和小写)的集合。 (4) C#语言的基本字符构成一个字符集。 (5) 计算机主存的全部存储单元集合。 (6) 全体实数的集合。 (7) 广工全体师生的集合。 集合的性质1（外延 (extension) 公理） 1. 外延 (extension) 公理--两个集合A和B相等的充分必要条件是它们有相同的元素。 I：互异性: 一个集合的各元素是可以互相区分开的, 即每一元素在一个集合中只出现一次。 II：无序性: 集合中元素排列次序无关紧要, 即集合表示形式的不唯一性。例：{a, b} = {b, a} III. 确定性：任一元素是否属于一个集合, 回答是确定的。 集合的性质2（正则 (regularity)公理） 3. 对任何集合S, 有{S} ? S；只能说 S ?{S}，不能说S={S}。（正则 (regularity) 公理的推论） 从而规定了集合{S}与 S的不同层次性。 说明： 1.集合与其成员是两个截然不同的概念, 集合的元素可以是任何具体或抽象事物, 包括别的集合, 但不能是本集合自身。 2.先有成员后才形成集合, 所以一个正在形成中的集合并不能作为一个实体充当本集合的成员。 1.2 数的集合表示 N：自然数(natural numbers)集合， N={0,1,2,3,…} Z：整数(integers)集合， Z={0,?1,?2,…}={…,-2,-1,0,1,2,…} Q：有理数(整数商Quotient : i/j, j ? 0) R：实数(Real numbers)集合 C：复数(complex numbers)集合 P：素数或质数 (Prime)集合 1.3 集合的表示 列举法（枚举法） 描述法（特征法） 1.列举法(roster) 列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来，例如 A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 集合中的元素不规定顺序。 C={2,1}={1,2} 集合中的元素各不相同。 C={2,1,1,2}={2,1} 用列举法表示集合并不总是可能的。 例如, 区间[0, 1]中的所有实数的集合就不能用这种方法给出。 从计算机的观点看, 列举法是一种“静态”表示法, 若把全部列举的数据都存储在计算机中, 那将占用大量的存储空间。 2.描述法(defining predicate) 也称作特征法。以某个小写英文字母表示该集合中的任意一个元素，并指出该类元素的共同特征。 例 : 正奇数集合 Odd = {m | m=2n + 1且n?N}。 例 : [0, 1]上的所有连续函数所形成的集合可记成 : C[0, 1] = {f (x) | f (x)在[0, 1]上连续}。 描述法(defining predicate) 描述法也称作谓词法，性质描述法。 用谓词P(x)表示x具有性质P ，用{x|P(x)}表示具有性质 P 的集合，例如 P1 (x): x是小写英文字母 A={x|P1 (x)}={x| x是英文字母} ={a,b,c,d,…,x,y,z} P2 (x): x是十进制数字 B={x|P2(x)}= {x|x是十进制数字} ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 描述法（续） 两种表示法可以互相转化，例如 E={2,4,6,8,…} //列举法 ={x|x0且x是偶数} //描述法 ={x|x=2(k