3-4(隐函数求导).pdfVIP

3.4 隐函数及参数方程所确定 的函数的导数  一.隐函数的导数  二.对数求导法  三.由参数方程确定的函数的导数  四.小结 思考题 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数 由方程F ( x, y)  0所确定的函数y  y( x) 定义: 称为隐函数. y  f ( x) 形式称为显函数. F ( x, y)  0 y  f ( x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则 将方程两边对x求导. 并注意到其中 变量y 是x 的函数. 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 例1 求由方程xy  ex  ey 0所确定的隐函数 dy dy y 的导数 , x 0 . dx dx 解 方程两边对x求导, y 注意y 是x 的函数, 所以 e 是x 的复合函数, dy x y dy y  x e  e  0 dx dx 解得 dy  e x  y , 由原方程知x  0, y  0, dx x  e y dy e x  y  1. x 0 x 0 dx x  e y y 0 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 可见求隐函数的导数时,只要记住x 是自变 量, y 是x 的函数, 于是y 的函数便是x 的复合函数, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数  y 的方程.从中解出即可. 虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 一般来说,隐函数  y 求导, 允许在 的表达式中含有变量y . 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 例2 设曲线C的方程为x3  y3  3 xy,求过C上 3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点. 解 方程两边对x求导, 3x2  3 y2 y  3 y  3xy 2  y  x  y 3 3  2 3 3 1. ( , ) y  x ( , ) 2 2 2 2 3 3 所求切线方程为 y   ( x  ) 即x  y 3  0. 2 2