数列与不等式知识点及练习(唐).docxVIP

数列与不等式一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：①②(，)在等差数列｛｝中,有关Sn的最值问题：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值. （2）当0,d0时,满足的项数m使得取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②等差、等比数列公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项例1：1.已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。2.已知为数列的前项和，求下列数列的通项公式： ⑴ ； ⑵.总结:任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：⑴已知数列中，，求数列的通项公式；⑵已知为数列的前项和，，，求数列的通项公式.总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：① ② .题型3 构造等比数列求通项例3已知数列中，，求数列的通项公式.总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法：①令；② 在中令，；③由得，.例4已知数列中，，求数列的通项公式.总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为：“”或“求解.数列求和的常用方法一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 等差数列求和公式：等比数列求和公式： 3. 4、 5.二.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。例2 求数列的前n项和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）（2）（3）三.错位相减法:可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.例1：求和：. 例2:数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．小结：错位相减法类型题均为：连续相加。四.常用结论1）1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) = 3）4） 5）重要不等式1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)．【变形】：①（当a = b时，）【注意】：，2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”*.若，则 (当且仅当时取“=”）; 若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）*.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：（，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以ab得或。 *均为正数，八种变式：①；②；③④；⑤若b0,则；⑥a0,b0,则；⑦若a0,b0,则；⑧若，则。上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。放缩不等式：①，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）.【拓展】：.②，，则；③，；④，.⑤,函数图象及性质(1)函数图象如图：(2)函数性质：①值域：；②单调递增区间：，；单调递减区间：，最值定理（积定和最小）①，若积，则当时和有最小值；（和定积最大）②，若和，则当是积有最大值.【推广】：已知，则有.（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.③已知，若，则有则的最小值为：④已知，若则和的最小值为：.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当时，求函的数最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知，求函数的最大值.⑶调整分子：例3.求函数的值域；⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形,，不易想到，应重视；例4.求函数的最大值；⑸连用公式：例5.已知，求的最小值；⑹对数变换：例6.已知，且，求的最大值；⑺三角变换：例7.已知，且，求的最大值；⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值1、数列的一个通项公式是（） A、 B、 C、 D、2、已知等比数列的公比为正数，且，则（） A、 B、2 C、 D、3