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映射、函数、单调性和奇偶性 高一数学（第4周） 主讲教师：高朋中 主审教师：陈云楼 【教学内容】 1．映射 2．函数 3．函数的单调性和奇偶性 【教学目标】 1. 了解映射的概念及表示方法，了解象与原象的概念，了解一一映射的概念。 2．理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，掌握函数的三种主要表示方法。 3．了解增函数、减函数的概念，并能掌握判断某些简单函数的奇偶性。 【知识讲解】 1．映射：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。 集合A到集合B的映射有三个要素，即集合A、集合B和对应法则f。其中集合A和B是有先后顺序的，因为一般情况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射。而对于集合A和B的元素是什么，映射的定义未作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象。 一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射：（1）集合A中的每一个元素（一个不漏地）在集合B中都有象（但集合B中的每一个元素不一定都有原象）——任意性；（2）集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一的一个（集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个）——唯一性。 集合A到集合B的映射有两种形式：（1）一一对应；（2）多对一；“注意一对多则不是映射。” 给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。 一一映射：一般地，设A、B是两个集合，f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射。 2．函数：如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数。记作y=f（x）。其中x∈A，y∈B。原象的集合A叫做函数y=f（x）的定义域，象的集合C（C?B）叫做函数y=f（x）的值域。 函数的表示方法有三种：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法。闭区间[a,b]，开区间（a,b），半开闭区间（a,b][a,b）的含义。 3．函数的单调性：如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有单调性，这一区间叫做y=f（x）的单调区间。 增函数：如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数。 减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数。 3．一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。 如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f（x）具有奇偶性。 奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。 【例题解析】 例1．下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？ ABabcdefg(1)A A B a b c d e f g (1) A B a b c d e f g (2) h A B a b c d e f g (3) A B a b c d e f (4) 例2．已知集合A={1,2,3,m}，（m∈N），B={4,7,n4,n2+3n}，（n∈N），设x∈a，y∈B，“f：x→y=3x+1”是集合A到集合B的映射，求m，n的值。 解：∵4=3×1+1 . 7=3×2+1 由又m,n∈N，∴方程组无解 由又m,n∈N，解得。 例3．已知A=N*，B={}映射f:x→y=，（x∈A，y∈B），求在映射f的作用下，象的原象。 解：设原象为x，由=，解得x=50 例4．求下列函数的定义域。 （1）y= （2）y=（2-5x）0+ （3）y= （4）y= 解：（1）由10x-x2-21≤0，得3≤x≤7 ∴函数的定义域为[3，7] （2）由解得x≥且x≠ ∴函数的定义域是[，）∪（，+∞） （3）由 ∴函数的定义域是[-2，0] （4）由 ∴函数的定义域是（-∞，-11）∪（-11，-3]∪（5，+∞）。 例5、求下列函数的值域 （1）y= （2）y=x2-2x+3, x∈[2,3] （3）y=2x