教师版奇偶.docVIP

专题：函数的奇偶性 知识梳理 偶函数：对于函数的定义域内的任意实数，都有 奇函数：对于函数的定义域内的任意实数，都有 函数有奇偶性，定义域一定关于原点对称；反之不一定成立，如。 偶函数的图像关于__轴对称__对称，奇函数的图像关于坐标原点对称。特别地，当奇函数在处有定义时，必有__ 【证明：】 若既是奇函数又是偶函数，则______ 【证明：，又，故】 典例精讲 例1. (★)判断下列函数的奇偶性， ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ 解：奇函数：①⑤⑥ 偶函数：②⑦ 非奇非偶函数：③④ 既奇又偶函数：⑧. 例2. (★)判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) ； 突破口：判断函数的单调性，用定义法。 解：(1) ,定义域关于原点对称。 ，故为奇函数。 （2），，故是既奇又偶的函数； （3），定义域关于原点不对称，故是非奇非偶的函数。 巩固练习: 1. (★)若函数与的定义域均为，则 ( ) A．与均为偶函数 B. 为偶函数，为奇函数 C．与均为奇函数 D.为奇函数，为偶函数 解:,选B． 2. (★)已知函数，试讨论的奇偶性； 解：定义域为， ， 所以 为奇函数；。 例3. (★)已知函数为奇函数，若，则　　　　　　． 突破口：利用与、与之间的关系。 解：。 巩固练习: (★)设函数是奇函数. 若，则 . 解：，。 例4. (★)函数的图像关于 ( ) A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 解：C 巩固练习: (★)函数的图像关于 ( ) A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 解： 是偶函数，图像关于轴对称. 故选A. 例5. (★)设是定义在上的函数，当时，， 当为奇函数时，函数的解析式是 ; 当为偶函数时，函数的解析式是 . 解：当时，，， 若是奇函数，，则。 若是偶函数，，则。 巩固练习: (★)已知是上的奇函数，且当时，，则 . 解：当时，是上的奇函数，故。 当时，，， 故 。 所以，。 例6. (★)设，，若函数是奇函数，则的值为 . 突破口：已知函数的奇偶性，求参数的值时，可以利用特殊值法，比如取 解：函数是奇函数，且有意义，故 ，。 小结： 巩固练习: 1. (★)若函数为奇函数，则＝ . 解： 且由奇函数的定义域关于原点对称，故。 2. (★)若定义在上的函数是偶函数，则实数 . 解：偶函数的定义域关于原点对称，故 。 例7. (★★)已知函数，试讨论函数的奇偶性； 解：当时，，，故函数是一个偶函数； 当时，取特殊值：， 故函数是非奇非偶函数. 提醒：当时，利用和的关系也可。 例8. (★★)判断下列函数的奇偶性： （1）； （2） （3） （4） (5) (6) 突破口：判断函数的单调性，用定义法。 解：(1) ,定义域关于原点对称。 ， 故在上为奇函数； 小结：指数形式要进行化简，和的形式一般要通分。 （2），定义域关于原点不对称，故是非奇非偶的函数； 小结：形如的分式不等式的解一般关于原点不对称。 （3）,定义域关于原点对称。 当时，，，； 当时，，，； 故在上为奇函数； （4），定义域关于原点对称。 从而， ，，。 故在上为奇函数； (5) ,; 故 在上是奇函数。 (6) 定义域，， ，所以是奇函数 例9. (★★)已知是偶函数，且其定义域为，则= ，= 。 突破口：对形如的二次函数，对称轴为。 若二次函数为偶函数，则 ，一次项系数为零。 解: 是偶函数,一次项系数为，则 。 定义域关于原点对称，故。 例11. (★★★)设（为实常数）． 当时，证明：不是奇函数； 设是奇函数，求与的值； 解：（1）举出反例即可．，，